实际做题中我们可能会遇到很多有关及计算几何的问题,其中有一类问题就是向量的旋转问题,下面我们来具体探讨一下有关旋转的问题。
首先我们先把问题简化一下,我们先研究一个点绕另一个点旋转一定角度的问题。已知A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2),我们需要求得A点绕着B点旋转θ度后的位置。
A点绕B点旋转θ角度后得到的点,问题是我们要如何才能得到A' 点的坐标。(向逆时针方向旋转角度正,反之为负)研究一个点绕另一个点旋转的问题,我们可以先简化为一个点绕原点旋转的问题,这样比较方便我们的研究。之后我们可以将结论推广到一般的形式上。
令B是原点,我们先以A点向逆时针旋转为例,我们过A' 做AB的垂线,交AB于C,过C做x轴的平行线交过A' 做x轴的垂线于D。过点C做x轴的垂线交x轴于点E。
令A的坐标(x,y),A' 坐标(x1,y1),B的坐标(0,0)。我们可以轻松的获取AB的长度,而且显而易见A' B长度等于AB。假设我们已知θ角的大小那么我们可以很快求出BC和A' C的长度。BC=A' B x cosθ,A' C=A' B x sinθ。
因为∠A' CB和∠DCE为直角(显然的结论),则∠A' CD +∠DCB =∠ECD +∠DCB=90度。
则∠A' CD=∠ECD,∠A' DC=∠CEB=90度,因此可以推断⊿CA' D ∽⊿CBE。由此可以退出的结论有:
BC/BE=A' C/A' D和BC/CE=A' C/CD
当然了DC和A' D都是未知量,需要我们求解,但是我们却可以通过求出C点坐标和E点坐标间接获得A' C和CD的长度。我们应该利用相似的知识求解C点坐标。
C点横坐标等于:((|AB| x cosθ) / |AB|) * x = x*cosθ
C点纵坐标等于:((|AB| x cosθ) / |AB|) * y = y*cosθ
则CE和BE的的长度都可以确定。
我们可以通过相⊿CA' D ∽⊿CBE得出:
AD = x * sinθ DC = y * sinθ
那么接下来很容易就可以得出:
x1 = x*cosθ- y * sinθ y1 = y*cosθ + x * sinθ
则A' 的坐标为(x*cosθ- y * sinθ, y*cosθ + x * sinθ)
我们可以这样认为:对于任意点A(x,y),A非原点,绕原点旋转θ角后点的坐标为:(x*cosθ- y * sinθ, y*cosθ + x * sinθ)
接下来我们对这个结论进行一下简单的推广,对于任意两个不同的点A和B(对于求点绕另一个点旋转后的坐标时,A B重合显然没有太大意义),求A点绕B点旋转θ角度后的坐标,我们都可以将B点看做原点,对A和B进行平移变换,计算出的点坐标后,在其横纵坐标上分别加上原B点的横纵坐标,这个坐标就是A' 的坐标。
推广结论:对于任意两个不同点A和B,A绕B旋转θ角度后的坐标为:
(Δx*cosθ- Δy * sinθ+ xB, Δy*cosθ + Δx * sinθ+ yB )
注:xB、yB为B点坐标。
结论的进一步推广:对于任意非零向量AB(零向量研究意义不大),对于点C进行旋转,我们只需求出点A和B对于点C旋转一定角度的坐标即可求出旋转后的向量A' B' ,因为向量旋转后仍然是一条有向线段。同理,对于任意二维平面上的多边形旋转也是如此。