深入理解最小割的意义
在做网络流题目的时候，我们时常因为无法正确建图而遗憾错过本应该的AC。
今天通过一些题目，我好好记录一下自己对最大流、最小割的学习感受。
Hdu 1565，题意：
给你一个矩阵，矩阵上每个点上都有一个数字，现在要你在矩阵中取一些数字，使得取得的数字和最大！
规则：相邻的格子不能同时取，即取了一个以后，它四周的数字便不能再取了。
分析：（题目实际就是求一个无向图的最大点权独立集）
这种方格的题目，我们最容易想到二分图，最大流等等。事实上，也确实是用最大流来解二分图。首先建图：我们将行列相加为奇数的点与S相连，容量就为该点的点权，行列相加为偶数的点与T相连，容量同样为该点的点权。然后，所有与S相连的点，将它与它四周连一条边，容量为无穷大。对这样的图求一次最大流，最大流的值即该图的最小点集覆盖，我们最后用所有点权和减去最大流便是我们的答案了(最大点权独立集=所有点权-最小点权覆盖集)
图是这样建好了，可是我们会问，为什么就要这样建图呢？为什么某个点向它四周的点的边容量就要是无穷大？
其实是这样的：求完最大流以后，其实就形成了一个最小割。最小割将图分成了两部分。而这个最小割的几何意义是，完成一次取数方案的最小花费！
我们对残留图进行遍历，对于左边那些点，依然与S相连的点，说明它最终被取了，没有相连的点，即被割了，说明它最终没有被取。我们可以想象，如果某个与S相连的点的边被割了，那么它四周与T相连的那些点与T形成的边便一定被保留了，也就是说想要保留某一个，就必须割去这个点对应的另一边，而最小割割的又恰好是较小的，于是较大的那一个便得到了保存。也可以理解为，割的那条边便是花费，我花费叫小的钱，用来保留较大的点。再看，题目要求某一个点不能与它四周的点同时被取，那么我们就将他们连一条无穷大的边，这样的话，如果这条边的两点都要被取的话(一个与S连，一个与T连)，我们就要付出无穷大的代价，这么贵，当然不会取了。
再来看一题HDU 3657，这是2010年成都赛区网赛上的一道题
题意：还是给你一个矩阵，矩阵上有一些数，依然是叫你取数，如果某两个相邻的数被你取了，那么你取得的成绩将会减去某一个代价。也就是说，相邻的点可以取了，只是要额外支付一些代价。并且，还会给你一些点，这些点必须要取到。问你最后取到的最大值。
分析：
依然是二分图的最小割，最后左边与S相连的点说明最终被取到，右边与T相连的点说明最终被取到了。我们先关注一下题目要求一定要取的点，怎么保证最小割一定不会割这些点呢，你可能已经想到了，我们将它与相应的S或者T连无穷大的边，那么最小割就一定不敢割它了。好了，再来处理一下相邻点的问题，上一题中，我们是要求不能取相邻的点，所以我们将他们的边值设为了无穷大，也就是要去他们两个，就必须割断这条边，而割断这条边的话，付出无穷大的代价而已。现在题目要求不是不能取了，只是要付出一些代价，怎么样，想到了什么？是不是将无穷大该成题目要求的代价就OK了？回答是对的！
现在我们建图：
所有行列相加为偶数的点与S相连，所有行列相加为奇数的点与T相连，容量都为他们相应的点权。对于与S相连的所有点，他们向四周连一条代价为2*（x&y）的边，x与y分别为连点的点权。好了，求最大流，最后输出所有点权减去最大流值。
下面是第二题的代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 0xfffffff
#define min(a,b) a<b?a:b
typedef struct node
{
int v;
int f;
struct node *next;
}node;
node *link[3000];
node edge[20000];
int num,S,T,n,m,l,N;
int map[51][51];
int di[4][2]={1,0,0,1,-1,0,0,-1};
void add(int u,int v,int f)
{
edge[num].v=v;
edge[num].f=f;
edge[num].next=link[u];
link[u]=edge+num++;
edge[num].v=u;
edge[num].f=0;
edge[num].next=link[v];
link[v]=edge+num++;
}
int h[3000],vh[3000];
int find(int u,int FLOW)
{
if(u==T)
return FLOW;
int left=FLOW;
int temp=N-1;
for(node *p=link[u];p;p=p->next)
{
if(p->f && h[u]==h[p->v]+1)
{
int MIN=min(p->f,left);
int f=find(p->v,MIN);
left-=f;
p->f-=f;
edge[(p-edge)^1].f+=f;
if(!left || h[S]==N)
return FLOW-left;
}
if(p->f && h[p->v]<temp)
temp=h[p->v];
}
if(FLOW==left)
{
vh[h[u]]--;
if(!vh[h[u]])
{
h[S]=N;
}
else
{
h[u]=temp+1;
vh[h[u]]++;
}
}
return FLOW-left;
}
int sap()
{
int ans=0;
N=T+1;
memset(vh,0,sizeof(vh));
memset(h,0,sizeof(h));
vh[0]=N;
while(h[S]<N)
{
ans+=find(S,inf);
}
return ans;
}
int main()
{
int i,j,k,a,b,sum;
freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&l)!=EOF)
{
S=0; T=n*m+1; sum=0;
memset(link,0,sizeof(link));
num=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&map[i][j]);
sum+=map[i][j];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if((i+j)%2==0)
{
add(S,(i-1)*m+j,map[i][j]);
for(k=0;k<4;k++)
{
a=i+di[k][0];
b=j+di[k][1];
if(a>=1 && a<=n && b>=1 && b<=m)
{
add((i-1)*m+j,(a-1)*m+b,2*(map[i][j]&map[a][b]));
}
}
}
else
{
add((i-1)*m+j,T,map[i][j]);
}
}
}
for(i=0;i<l;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if((a+b)%2==0)
{
add(S,(a-1)*m+b,inf);
}
else
{
add((a-1)*m+b,T,inf);
}
}
cout<<sum-sap()<<endl;
}
return 0;
}