题解：洛谷P1891 疯狂LCM

原题链接

题目描述

描述：

众所周知，czmppppp是数学大神犇。一天，他给众蒟蒻们出了一道数论题，蒟蒻们都惊呆了。。。

给定正整数N，求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N)。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数T，表示有T组数据。

对于每组数据，一行，一个正整数N。

输出格式：

T行，每行为对应答案。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
1
2
5

输出样例#1： 复制

1
4
55

说明

对于30%的数据，1≤T≤5，1≤N≤100000

对于100%的数据，1≤T≤300000，1≤N≤1000000

题解

挺妙的一道题。

要求的是\(\sum_{i=1}^{n}lcm(i, n)\)，一看好像没什么思路（可能是本人菜）。当然只会想到暴力打表和看题解了……?

首先这步应该地球人都会去试：
\[\sum_{i=1}^{n}lcm(i, n) = n \sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\gcd(i, n)}\]
然后很关键的一步是像证明莫反一样添一个\(\sum\)（说一句废话），式子就变成了：
\[n\sum_{d\mid n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[d=\gcd(i, n)]\]
中括号里是一个类似布尔型的变量。

对于中括号里的式子，两边同除以\(d\)：
\[n\sum_{d\mid n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[\gcd(\frac{i}{d}, \frac{n}{d}) = 1]\]
把\(\frac{i}{d}\)变成\(i\)，得到：
\[n\sum_{d\mid n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[\gcd(i, \frac{n}{d}) = 1]\]
把\(d\)倒着枚举，我们就得到了酱紫的东西：
\[n\sum_{d\mid n}\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,d) = 1]\]
然后我们来看\(\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,d) = 1]\)：与\(d\)互质的所有数之和。

如果是个数就好求了……

等等，个数？我们是否可以从个数出发？

想一想，对于\(\gcd(i, d) = 1\)，\(\gcd(d-i, d)\)是什么？显然也是\(1\)。

所以\(i\)是成对出现的（\(d=1\)除外）。

于是我们发现（当\(d \not= 1\)时）：
\[\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,d) = 1] = \frac{\varphi(d)}{2} d\]
\(O(n)\)预处理\(\varphi\)，对于每次询问\(O(\sqrt{n})\)枚举\(d\)回答。

这种算法有点卡，注意能不开long long的地方就别开long long。

转载于:https://www.cnblogs.com/pfypfy/p/9184853.html