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线性代数总结

文章目录

行列式
矩阵秩的知识点
- 1.矩阵秩的证明
- 2. 矩阵秩的性质
常见的矩阵
A乘A*等于A的行列式乘E
爪型处理
拉普拉斯和范德蒙式
转置矩阵性质
逆矩阵性质
- 如何求逆矩阵
伴随矩阵性质
- 如何求伴随矩阵
正交矩阵性质
矩阵A和B等价
向量组等价
向量内积
分块矩阵
初等矩阵
如何求矩阵A的n次方（幂矩阵）
向量组相关性（汤P67+李P55）
线性无关的判定（李：P61）
- 注意相关无关与线性表出的区别
做题总结（必看）

行列式

矩阵秩的知识点

1.矩阵秩的证明

为什么r(AB)=r(B)？

因为A可逆,所以r(A)=n,又因为r(AB)<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))

因为可逆矩阵总可以分解成一系列初等矩阵的乘积
所以可逆矩阵A左（右）乘矩阵B可以理解为一系列初等矩阵左（右）乘B
那这相当于对矩阵B作了一系列对应的初等行（列）变换
而我们知道初等变换是不会改变矩阵的秩的

2. 矩阵秩的性质

常见的矩阵

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数都相同,那么我们就说这两个矩阵是同型矩阵

A乘A*等于A的行列式乘E

爪型处理

拉普拉斯和范德蒙式

转置矩阵性质

逆矩阵性质

A与单位矩阵等价，因为可逆矩阵A满足AB=E，把B看做一个初等矩阵。所以A与E是等价的。

如何求逆矩阵

复习全书169
汤家凤讲义：46

伴随矩阵性质

如何求伴随矩阵

直接求：用n-1阶子式。注意按列排序
间接法，用A的伴随=A的行列式 * A的逆矩阵

正交矩阵性质

矩阵A和B等价

向量组等价

定义：向量组1中的每个向量都可以由向量组2中的向量表示，那这两个向量组就等价

向量内积

分块矩阵

李永乐讲义32页

初等矩阵

性质

如何求矩阵A的n次方（幂矩阵）

李永乐讲义 34页：

r(A)=1的特殊矩阵求n次方

引申：秩为1的矩阵特征值：P6

用矩阵相似间接求

汤家凤讲义：P40

向量组相关性（汤P67+李P55）

线性无关的判定（李：P61）

注意相关无关与线性表出的区别

引申结论

做题总结（必看）

遇到不能or能否的问题时，可以试试用反证法，假设它能，然后推出结果与已知条件冲突（李永乐 P70）

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