Python版17个内部排序算法
内部排序算法
- 背景概念
-
- 时间复杂度
- 原址性
- 稳定性
- 1 基于比较的排序算法
-
- 1.1 交换类
-
- 1.1.1 冒泡排序 BubbleSort
-
- 1.1.1.1【超时】易于理解的版本（ 冒最大值）
- 1.1.1.2【超时】易于背诵版本（ 冒最大值）
- 1.1.1.3【超时】冒最小值
- 1.1.1.4【超时】优化版
- 1.1.1.6 降序版
- 1.1.2 鸡尾酒排序 Cocktail Sort
-
- 1.1.2.1【超时】易于理解版
- 1.1.3 快速排序 Quick Sort
-
- 1.1.3.1【通过】递归 + 左右指针交换版
- 1.1.3.2 【通过】左右指针三路版
- 1.1.3.3【通过】迭代 + 快慢指针交换版
- 1.1.3.4 【通过】快慢指针三路版
- 1.1.3.5 【通过】三数取中版
- 1.1.3.6 降序版
- 1.1.4 SampleSort
-
- 1.4.2.1【通过】Cpython2.2.3 翻译版
- 1.2 选择类
-
- 1.2.1 简单选择排序 Selection Sort
-
- 1.2.1.1【超时】选最小值版
- 1.2.1.2【超时】选最大值版
- 1.2.1.3 降序版
- 1.2.1.4 选择排序 VS 冒泡排序
- 1.2.2【超时】树形选择排序 Tree Selection Sort / 锦标赛排序 Tournament Sort
-
- 1.2.2.1【超时】胜者树选最小值版
- 1.2.3 堆排序 Heap Sort
-
- 1.2.3.1【超时】递归版
- 1.2.3.2【超时】迭代版（栈）
- 1.2.3.3【通过】迭代版（变量更新）
- 1.2.3.4 降序版
- 1.3 插入类
-
- 1.3.1 直接插入排序 Insert Sort
-
- 1.3.1.1【超时】交换插入版
- 1.3.1.2【超时】直接插入版（挖坑）
- 1.3.1.3 降序版
- 1.3.2 二分插入排序 Binary Insert Sort
-
- 1.3.2.1【超时】直接插入版（挖坑）
- 1.3.3 2-路插入排序
-
- 1.3.3.1【超时】直接插入版（挖坑）
- 1.3.4 希尔排序 Shell Sort
-
- 1.3.4.1【超时】原始Shell增量序列版
- 1.3.4.2【超时】Hibbard增量序列
- 1.3.4.3【通过】Sedgewick增量序列
- 1.3.4.4 降序版
- 1.4 归并类
-
- 1.4.1 归并排序 Merge Sort
-
- 1.4.1.1【通过】自上而下递归版
- 1.4.1.2【通过】自下而上迭代版（变量更新）
- 1.4.1.3 降序版
- 1.4.2 TimSort
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- 1.4.2.1【通过】JDK1.8 翻译版
- 2 非比较排序算法
-
- 2.1 鸽巢排序 Pigeonhole Sort
-
- 2.1.1【超时】简易版
- 2.1.2【超时】偏移最小值版
- 2.2 计数排序 Counting Sort
-
- 2.2.1【超时】累加和版
- 2.2.2 降序版
- 2.3 桶排序 Bucket Sort
-
- 2.3.1【通过】桶内元素排序使用插入排序
- 2.3.2【通过】桶内元素排序使用递归
- 2.3.3 降序版
- 2.4 基数排序 Radix Sort
-
- 2.4.1【通过】最低位优先法 LSD
- 2.4.2【超时】最高位优先法 MSD
- 2.4.3 降序版
- 扩展阅读
通过/超时：在牛客网试题【排序】中的提交结果。
背景概念
算法复杂度分析
算法的时间复杂度和空间复杂度详解
最详细的解说—时间和空间复杂度
时间复杂度
时间复杂度反映了算法运行时间随输入规模增长而增长的量级，记为T(N) = O( g(N) )。
T(N)：算法运行的时间频度，即基本语句（例如：比较）的执行次数，可以用于衡量算法的精确运行时间，一般表现为多项式（例如：a * N^2 + b * N + c）。当输入规模N足够大时，精确运行时间中的倍增常量和低阶项被输入规模本身的影响所支配，所以我们只需关注运行时间的增长量级（例如：N^2），即研究算法的渐近效率，使用以下3种渐近记号来表示，详见下图（图片来自《算法导论》第 3 章 函数的增长）。
Θ( g(N) )：T(N) 函数的渐近紧确界，即同时满足上界O( g(N) )和下界Ω( g(N) )。
O( g(N) )：T(N) 函数的渐近上界，例如O( N^2 )可以理解为当N足够大时，算法的运行时间频度总是小于等于N^2的常数倍，常用于表示最差/平均时间复杂度。
Ω( g(N) )：T(N) 函数的渐近下界，例如Ω( N^2 )可以理解为当N足够大时，算法的运行时间频度总是大于等于N^2的常数倍，常用于表示最优时间复杂度。
《算法导论》在第二部分（排序和顺序统计量）的前言中，对常见排序算法的时间复杂度总结如下：
原址性
根据《算法导论》第二部分（排序和顺序统计量）的前言，如果输入数组中仅有常数个元素需要在排序过程中存储在数组之外，则称排序算法是原址的（in place）。
稳定性
根据《算法导论》8.2 章节，排序算法是的稳定的：具有相同值的元素在输出数组中的相对次序与它们在输入数组中的相对次序相同。当所排序的数据还附带其他对象信息时，算法的稳定性就比较重要。
1 基于比较的排序算法
根据《算法导论》8.1 章节，在最坏情况下：
- 任何基于比较的排序算法都要做
Ω(N * lgN)次比较（下界） - 归并排序和堆排序在最坏情况下达到上界
O(N * lgN) - 快速排序在平均情况下达到上界
O(N * lgN)。
根据《算法导论》7.1 章节，虽然快速排序的最差时间复杂度很差（O(N^2)），但它的平均性能非常好：
- 平均时间复杂度
O(N * lgN)中隐含的常数因子非常小，低于归并排序和堆排序 - 和堆排序一样能原址排序，但归并排序非原址
1.1 交换类
1.1.1 冒泡排序 BubbleSort
平均时间复杂度：O(N^2)
最差时间复杂度：O(N^2)
最优时间复杂度：O(N) 需要加上两个优化项
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：稳定，在相邻元素相等时，它们并不会交换位置。
1.1.1.1【超时】易于理解的版本（ 冒最大值）
- 外循环倒序：i 是本轮冒泡结束后，应排好序的元素位置，先把倒数一个元素n-1排好，再把倒数第二个元素n-2排好。
- 内循环正序：为了把最大值冒泡到最后，需要从前向后两两检查交换，即一对检查指针（j和j-1），注意已经排好的元素无需再检查。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n-1, -1, -1):
for j in range(1, i+1):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
return arr
1.1.1.2【超时】易于背诵版本（ 冒最大值）
- 外循环正序：第 i 轮冒泡。
- 内循环正序：为了把最大值冒泡到最后，需要从前向后两两检查交换，即一对检查指针（j和j-1），注意已经排好的元素无需再检查。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
for j in range(1, n-i):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
return arr
1.1.1.3【超时】冒最小值
从上述两个版本可以看出，外循环的正/倒序无所谓，而内循环的正/倒序取决于冒最大值，还是冒最小值。
- 外循环正序：i是本轮冒泡结束后，应排好序的元素位置，第0轮把元素0排好，第1轮把元素1排好。
- 内循环倒序：为了把最小值冒泡到最前，需要从后向前检查交换，注意已经排好的元素无需再检查。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
for j in range(n-1, i, -1):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
return arr
1.1.1.4【超时】优化版
- 优化只能改善最优时间复杂度，利用了数组本身已经排好序的部分。
- 两个优化项同时使用，效果更好。
- 无论外循环是正/倒序，两个优化项的写法都一样。
- 无论冒大/冒小，【优化一】缩小外循环的写法都一样。
- 冒大/冒小，会影响【优化二】缩小内循环的写法。
【优化一】缩小外循环：如果某一轮没有任何可交换的元素，说明已排序完成，不用再进行下一轮冒泡了，减少了总冒泡轮数 i，需要用 swap_flag 标记本轮是否发生过交换。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""【优化一】冒最大值，缩小外循环"""
n = len(arr)
for i in range(n):
swap_flag = False
for j in range(1, n-i):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
swap_flag = True
if not swap_flag:
break
return arr
【优化二】缩小内循环：记录本轮最后发生交换的位置（last_swap_pos），此位置之后已排好序，下轮到此位置即可，减少了下轮要检查的元素数量。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""【优化二】冒最大值，缩小内循环"""
n = len(arr)
last_swap_pos = n
for i in range(n):
for j in range(1, last_swap_pos):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
last_swap_pos = j
return arr
两个优化项同时使用
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
last_swap_pos = n
for i in range(n):
swap_flag = False
for j in range(1, last_swap_pos):
if arr[j-1] > arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
swap_flag = True
last_swap_pos = j
if not swap_flag:
break
return arr
1.1.1.6 降序版
只需把比较符号换成 >
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序"""
n = len(arr)
last_swap_pos = n
for i in range(n-1, -1, -1):
swap_flag = False
for j in range(1, last_swap_pos):
if arr[j-1] < arr[j]:
arr[j-1], arr[j] = arr[j], arr[j-1]
swap_flag = True
last_swap_pos = j
if not swap_flag:
break
return arr
1.1.2 鸡尾酒排序 Cocktail Sort
冒泡排序的变形版，也称搅拌排序。
1.1.2.1【超时】易于理解版
- 每一轮排序有两个内循环，每轮结束时同时排好了最大和最小两个元素。
- 第一个循环负责把当前最大值冒泡到最右。
- 第二个循环把当前最小值冒泡到最左。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n-1, -1, -1):
for j in range(1, i+1):
if arr[j] < arr[j-1]:
arr[j], arr[j-1] = arr[j-1], arr[j]
for j in range(i-1, 0, -1):
if arr[j] < arr[j-1]:
arr[j], arr[j-1] = arr[j-1], arr[j]
return arr
1.1.3 快速排序 Quick Sort
平均时间复杂度：O(N * lgN)，只要分区比例是常数都会产生深度为O(lgN) 的递归树，而每一层的时间代价都是O(N)，详见《算法导论》章节 7.2 快速排序的性能。
最差时间复杂度：O(n^2)，分区极不平衡时T(N) = 分区操作 O(N) + 左子区递归 T(N-1) + 右子区递归 T(0)
最优时间复杂度：O(N * lgN)，分区最平衡时T(N) = 分区操作O(N) + 左子区递归 T(N/2) + 右子区递归 T(N/2)
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：快速排序本身是不稳定的，如果修改代码使其稳定，则一定会牺牲性能（即使能保持时间复杂度仍为O(N * lgN)，但其中隐含的常数因子会增大）。
1.1.3.1【通过】递归 + 左右指针交换版
递归函数
- 接收数组arr和一对边界标识start, end，就地排序，无需返回值。
- 调用分排函数得到基准元素的正确位置，此时数组被排序成三部分，基准元素在中间，左侧都小于基准，右侧都大于基准。
- 分别对左、右子数组递归调用自己，注意不要包含基准本身。
- 递归隐性退出条件：边界标识 start >= end 超界。
分排函数（左右指针交换版）
- 接收数组arr和一对边界标识start, end，返回基准元素的正确位置。
- 以start元素为基准，右指针小循环先出发，从右向左找到小元素停住，左指针小循环后出发，从左向右找到大元素停住，左右交换。
- 外层大循环检查左右指针是否相遇，相遇则结束循环，把start基准元素交换到指针相遇位置，并返回此位置。（指针相遇位置是大小值的分界线，并且指向最后一个小值）。
不稳定原因
- 忽略基准元素，左/右指针把数组分成了三部分： 小&等值区 | 未知区 | 大&等值区，左指针指向【小&等值区】的右边界，右指针指向【大&等值区】的左边界。
- 当两个指针在未知区发现应属于对方区的元素时，就相互交换。由于这两个被交换的元素中间还跨越了【未知区】，直接交换可能打乱了被交换元素与其在【未知区】内的等值元素的先后次序。
- 为了解决稳定性的问题，必须把交换改为插入，移动其他元素，但这样会造成额外的时间、空间开销，导致算法性能下降。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""递归版"""
self.quick_sort_recur(arr, 0, len(arr) - 1)
return arr
def quick_sort_recur(self, arr, start, end):
if start < end:
mid = self.partition(arr, start, end)
self.quick_sort_recur(arr, start, mid - 1)
self.quick_sort_recur(arr, mid + 1, end)
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【左右指针交换版 + 以start为基准】"""
left = start
right = end
while left < right:
while left < right and arr[right] >= arr[start]:
right -= 1
while left < right and arr[left] <= arr[start]:
left += 1
arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
arr[start], arr[left] = arr[left], arr[start]
return left
注意
- 右指针必须先出发，考虑极端情况，start基准元素本身是最小元素时：
如果right指针先出发，越过所有>=元素，直接停留在了right=left=start，left后出发就不会动，无论怎么交换，start基准元素排的位置都是正确的。
如果left指针先出发，越过start基准本身(<=)，停留在了start+1，right指针后出发就会停留在了right=left=start+1，此时交换left和start是错的。 - 基准可以随机选择，但是必须交换到start位置，才能套用此代码。
import random
pivot = random.randint(start, end)
arr[pivot], arr[start] = arr[start], arr[pivot]
1.1.3.2 【通过】左右指针三路版
- 三路指针：当前检查指针 i ，左指针 lt ，右指针 gt
- 忽略基准元素，三个指针把数组分成了四部分： 小值区 | 等值区｜未知区 | 大值区，当前检查指针 i 指向【未知区】的第一个元素，也是【等值区】的右边界（不含），左指针 lt 指向【小值区】右边界，右指针 gt 指向【大值区】左边界。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""递归版"""
self.quick_sort_recur(arr, 0, len(arr) - 1)
return arr
def quick_sort_recur(self, arr, start, end):
if start < end:
# 把数组分成 3 部分：小于基准 | 等于基准 | 大于基准，只需对小值区、大值区进行递归，重复元素多时改善效率
lt, gt = self.partition(arr, start, end)
self.quick_sort_recur(arr, start, lt)
self.quick_sort_recur(arr, gt, end)
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【左右指针三路版】"""
import random
idx = random.randint(start, end)
arr[idx], arr[end] = arr[end], arr[idx]
pivot = arr[end]
lt = start - 1
gt = end
i = start
while i < gt:
# 遇到等值，扩大等值区
if arr[i] == pivot:
i += 1
# 遇到小值，把小值和等值左边界进行交换，扩大小值区，继续检查下个元素
elif arr[i] < pivot:
lt += 1
arr[lt], arr[i] = arr[i], arr[lt]
i += 1
# 遇到大值，把大值和未知区右边界进行交换，扩大大值区，继续检查刚交换过来的未知元素
else:
gt -= 1
arr[gt], arr[i] = arr[i], arr[gt]
# 把基准值和大值区左边界进行交换
arr[end], arr[gt] = arr[gt], arr[end]
# 至此：[start, lt]是小值，[lt+1, gt]是等值，[gt+1, end]是大值
return lt, gt + 1
1.1.3.3【通过】迭代 + 快慢指针交换版
用栈来保存递归函数的变参：左右两个子数组的边界标识。
- 弹出初始边界，调用分排函数，得到基准所在位置，分别把两对新边界入栈。
- 循环步骤1，直到栈空，排序结束。
- 分排函数用哪种指针都可以。
分排函数（ 快慢指针交换版）
- 接收数组arr和一对边界标识start, end，返回基准元素的正确位置。
- 以end为基准元素，只需一个 for 循环控制快指针，注意不包含end元素本身。
- 快指针从左向右找小值，遇到大值就越过，遇到小值要交换。
- 跟谁交换？肯定是跟慢指针交换。
- 慢指针是什么？慢指针是大小值的分界线，即slow指向小值，slow+1指向大值。
- 把快指针找到的小值与慢指针slow+1指向的大值进行交换，交换完后更新分界线，即慢指针向右走一格。
- 快指针都检查完后，就可以把end基准元素交换到正确位置。由于end是大值应该在的位置，则需与slow+1进行交换。
不稳定原因
- 忽略基准元素，快/慢指针把数组分成了三部分： 小&等值区 | 大值区｜未知区，慢指针指向【小&等值区】的右边界，快指针指向【大值区】的右边界。
- 当快指针在未知区发现应属于【小&等值区】的新元素时，就把新元素跟【大值区】的左边界相互交换，并把慢指针向右扩展。由于这两个被交换的元素中间还跨越了【大值区】的其他元素，直接交换可能打乱了新元素与其在【大值区】内的等值元素的先后次序。
- 为了解决稳定性的问题，必须把交换改为插入，移动其他元素，但这样会造成额外的时间、空间开销，导致算法性能下降。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""迭代版"""
stack = [(0, len(arr)-1)]
while stack:
start, end = stack.pop()
mid = self.partition(arr, start, end)
if start < mid - 1:
stack.append((start, mid-1))
if mid + 1 < end:
stack.append((mid+1, end))
return arr
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【快慢指针交换版 + 以end为基准】"""
pivot = arr[end]
slow = start - 1
for fast in range(start, end):
if arr[fast] <= pivot:
arr[fast], arr[slow+1] = arr[slow+1], arr[fast]
slow += 1
arr[end], arr[slow+1] = arr[slow+1], arr[end]
return slow + 1
注意
- 如果想通过随机选基准改善分区的平衡性，则必须把选好的基准元素提前交换至end位置，因为最后要把基准元素交换到正确位置，所以基准元素的位置必须事先固定好，避免在检查过程中被移动。
- 此版本固定以end为基准元素，如果以start为基准，则指针边界、最后交换基准元素的正确位置需要改变。
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【快慢指针交换版 + 以start为基准】"""
pivot = arr[start]
slow = start
for fast in range(start+1, end+1):
if arr[fast] <= pivot:
arr[fast], arr[slow+1] = arr[slow+1], arr[fast]
slow += 1
# 注意：由于start是小值应该在的位置，则需与slow进行交换。
arr[start], arr[slow] = arr[slow], arr[start]
return slow
1.1.3.4 【通过】快慢指针三路版
- 三路指针：当前检查指针 i ，快指针 fast ，慢指针 slow
- 忽略基准元素，三个指针把数组分成了四部分： 小值区 | 等值区 | 大值区｜未知区 ，当前检查指针 i 指向【未知区】的第一个元素，也是【大值区】的右边界（不含），快指针 fast 指向【等值区】右边界，慢指针 slow 指向【小值区】左边界。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""递归版"""
self.quick_sort_recur(arr, 0, len(arr) - 1)
return arr
def quick_sort_recur(self, arr, start, end):
if start < end:
lt, gt = self.partition(arr, start, end)
self.quick_sort_recur(arr, start, lt)
self.quick_sort_recur(arr, gt, end)
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【快慢指针三路版】"""
import random
pivot = random.randint(start, end)
arr[pivot], arr[end] = arr[end], arr[pivot]
fast = slow = start - 1
for i in range(start, end + 1):
# 遇到大值，无需任何交换，i 继续向右走，扩大大值区右边界
# 遇到等值，把等值与大值区左边界进行交换，扩大等值区右边界
if arr[i] == arr[end]:
fast += 1
arr[fast], arr[i] = arr[i], arr[fast]
# 遇到小值，需交换两次，才能把它交换到小值区，同时等值区整体右移
elif arr[i] < arr[end]:
fast += 1
arr[fast], arr[i] = arr[i], arr[fast]
slow += 1
arr[slow], arr[fast] = arr[fast], arr[slow]
return slow, fast + 1
1.1.3.5 【通过】三数取中版
三数取中（median-of-three）作为基准，改善分区的平衡性。
时间复杂度：降低了O(N * lgN)的常数因子。
- 先把首、中、尾三个元素排好序，再把中元素交换到
end-1位置。 - 快慢指针分排函数注意把基准元素的下标、快指针遍历范围修改为
end-1。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""迭代版"""
stack = [(0, len(arr) - 1)]
while stack:
start, end = stack.pop()
mid = self.partition(arr, start, end)
if start < mid - 1:
stack.append((start, mid - 1))
if mid + 1 < end:
stack.append((mid + 1, end))
return arr
def partition(self, arr, start, end):
"""分排函数【快慢指针交换版 + 三数取中为基准】"""
pviot_idx = self.swap_pivot(arr, start, end)
pivot = arr[pviot_idx]
slow = start - 1
for fast in range(start, pviot_idx):
if arr[fast] <= pivot:
arr[fast], arr[slow + 1] = arr[slow + 1], arr[fast]
slow += 1
arr[pviot_idx], arr[slow + 1] = arr[slow + 1], arr[pviot_idx]
return slow + 1
def swap_pivot(self, arr, start, end):
"""把首、中、尾三个元素排好序，再把中元素交换到 end-1 位置"""
mid = (start + end) // 2
if arr[start] > arr[mid]:
arr[start], arr[mid] = arr[mid], arr[start]
if arr[start] > arr[end]:
arr[start], arr[end] = arr[end], arr[start]
if arr[end] < arr[mid]:
arr[end], arr[mid] = arr[mid], arr[end]
arr[end-1], arr[mid] = arr[mid], arr[end-1]
return end-1
1.1.3.6 降序版
只需把分排函数的比较符号换成 >=
class Solution:
def MySort(self, arr):
stack = [(0, len(arr) - 1)]
while stack:
start, end = stack.pop()
mid = self.partition(arr, start, end)
if start < mid - 1:
stack.append((start, mid - 1))
if mid + 1 < end:
stack.append((mid + 1, end))
return arr
def partition(self, arr, start, end):
"""降序版"""
pivot = arr[end]
slow = start - 1
for fast in range(start, end):
if arr[fast] >= pivot:
arr[fast], arr[slow + 1] = arr[slow + 1], arr[fast]
slow += 1
arr[end], arr[slow + 1] = arr[slow + 1], arr[end]
return slow + 1
1.1.4 SampleSort
CPython 标准库函数 list.sort() 在 <= 2.2.3 的版本中，底层算法使用的是 SampleSort。而 >= 2.3.0 的版本中，底层算法使用的是 Timsort。这两种算法都是融合了多种算法的混合型算法。
SampleSort 算法可以视为一个“ N / lgN 取中”版本的快速排序。还可以将其视为一种桶排序，把数组元素分入 2^k 个桶，而桶边界（PP）是动态选择的。
时间复杂度：降低了O(N * lgN)的常数因子。
1.4.2.1【通过】Cpython2.2.3 翻译版
- 检查数组是否属于特殊案例（已经有序、或全部重复、或在有序数组末尾追加几个随机元素的数组）。如果只有很少的无序元素，或者总共只有很少的元素，直接使用二分插入排序就能以很低的成本结束整个排序。
- 普通案例（没有明显模式的大型数组），会得到完整的 samplesort 处理。它基本上就是加了兴奋剂的快速排序：
- 随机选择
2^k - 1个元素作为预选枢轴（PP：preselected pivots），其中k等于最接近N / lgN的 2 幂次方，再减去 1 。把 PP 都交换到数组的最前面，并排好序。要实现的效果就是使用这个2^k - 1个 PP 把数组划分成2^k个区间。使得每个 PP 左边区间的元素都 < 该PP，右边的元素都 >= 该 PP。 - 进行分区操作之前，先从多个 PP 中选择位于中间的那个作为本次分区操作的枢轴。把本次枢轴左边的 PP 移动到当前区间的左端，然后把本次枢轴右边的 PP 移动到当前区间的右端，之后就可以忽略这些PP，基于本次枢轴对中间部分进行快速排序的分区操作。
- 本次分区完成后，先把较长的子区间入栈，然后把较短的子区间作为新的区间，进入下轮处理循环。
- 每轮处理循环中，如果区间元素数量很少，则没有必要进行分区操作，直接使用二分插入排序。如果没有可用的 PP，则无法进行分区操作，必须使用其他方法（根据待区间元素数量决定，递归调用 samplesort 或者 二分插入排序）。如果不是上述两种情况，就可以进行分区操作，方法同上。
class SamplesortStackNode:
def __init__(self, stack_size):
self.lo = [0] * stack_size
self.hi = [0] * stack_size
self.extra = [0] * stack_size
class SampleSort:
MINSIZE = 100
MINPARTITIONSIZE = 40
MAXMERGE = 15
STACKSIZE = 60
CUTOFFBASE = 4
cutoff = [
43,
106,
250,
576,
1298,
2885,
6339,
13805,
29843,
64116,
137030,
291554,
617916,
1305130,
2748295,
5771662,
12091672,
25276798,
52734615,
109820537,
228324027,
473977813,
982548444,
2034159050
]
def binary_sort(self, arr, lo, hi, start):
assert lo <= start <= hi
if lo == start:
start += 1
while start < hi:
l = lo
r = start
pivot = arr[r]
while True:
p = l + ((r - l) >> 1)
if pivot < arr[p]:
r = p
else:
l = p + 1
if l >= r:
break
for p in range(start, l, -1):
arr[p] = arr[p-1]
arr[l] = pivot
start += 1
return arr
def sample_sort_slice(self, arr, lo, hi):
stack = SamplesortStackNode(self.STACKSIZE)
assert lo <= hi
n = hi - lo
"""
* ----------------------------------------------------------
* 特殊案例：已经有序、全部重复、在有序数组末尾追加几个随机元素。
* --------------------------------------------------------*
"""
if n < 2:
return arr
assert lo < hi
r = lo+1
for r in range(lo+1, hi):
if arr[r] < arr[r-1]:
break
if hi - r <= self.MAXMERGE or n < self.MINSIZE:
return self.binary_sort(arr, lo, hi, start=r)
assert lo < hi
for r in range(lo+1, hi):
if arr[r-1] < arr[r]:
break
if hi - r <= self.MAXMERGE:
originalr = r
l = lo
while True:
r -= 1
arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
l += 1
if l >= r:
break
return self.binary_sort(arr, lo, hi, start=originalr)
"""
* ----------------------------------------------------------
* 普通案例: 没有明显模式的大型数组。
* --------------------------------------------------------
"""
extra = 0
for extra in range(0, len(self.cutoff)):
if n < self.cutoff[extra]:
break
assert self.MINSIZE >= 2 ** (self.CUTOFFBASE-1) - 1
# 1 << k == 2 ** k
extra = (1 << (extra - 1 + self.CUTOFFBASE)) - 1
assert (extra > 0) and (n >= extra)
seed = n // extra
for i in range(0, extra):
seed = seed * 69069 + 7
j = int(i + seed % (n - i))
arr[lo+i], arr[lo+j] = arr[lo+j], arr[lo+i] # tmp = lo[i]; lo[i] = lo[j]; lo[j] = tmp;
self.sample_sort_slice(arr, lo, lo + extra)
top = 0
lo += extra
extraOnRight = 0
"""
/* ----------------------------------------------------------
* 对 [lo, hi) 进行分区操作，重复此步骤，直到没有可处理的区间
* --------------------------------------------------------*/
"""
while True:
assert lo <= hi # so n >= 0
n = hi - lo
if n < self.MINPARTITIONSIZE or extra == 0:
if n >= self.MINSIZE:
assert extra == 0
self.sample_sort_slice(arr, lo, hi)
else:
if extraOnRight and extra:
k = extra
while True:
arr[lo], arr[hi] = arr[hi], arr[lo]
lo += 1
hi += 1
k -= 1
if k <= 0:
break
self.binary_sort(arr, lo-extra, hi, start=lo)
top -= 1
if top < 0:
break
lo = stack.lo[top]
hi = stack.hi[top]
extra = stack.extra[top]
extraOnRight = 0
if extra < 0:
extraOnRight = 1
extra = -extra
continue
extra >>= 1
k = extra
if extraOnRight:
while True:
arr[lo], arr[hi] = arr[hi], arr[lo]
lo += 1
hi += 1
k -= 1
if k < 0:
break
else:
while k > 0:
lo -= 1
hi -= 1
arr[lo], arr[hi] = arr[hi], arr[lo]
k -= 1
lo -= 1
pivot = arr[lo]
l = lo + 1
r = hi - 1
assert lo < l < r < hi
while True:
while True:
if arr[l] < pivot:
l += 1
else:
break
if l >= r:
break
while l < r:
rval = arr[r]
r -= 1
if rval < pivot:
arr[r+1] = arr[l]
arr[l] = rval
l += 1
break
if l >= r:
break
assert lo < r <= l < hi
assert r == l or r+1 == l
if l == r:
if arr[r] < pivot:
l += 1
else:
r -= 1
assert lo <= r and r+1 == l and l <= hi
assert r == lo or arr[r] < pivot
assert arr[lo] is pivot
assert l == hi or arr[l] >= pivot
arr[lo] = arr[r]
arr[r] = pivot
while l < hi:
if pivot < arr[l]:
break
else:
l += 1
assert lo <= r < l <= hi
assert top < self.STACKSIZE
if r - lo <= hi - l:
stack.lo[top] = l
stack.hi[top] = hi
stack.extra[top] = -extra
hi = r
extraOnRight = 0
else:
stack.lo[top] = lo
stack.hi[top] = r
stack.extra[top] = extra
lo = l
extraOnRight = 1
top += 1
return arr
class Solution:
def MySort(self, arr):
return SampleSort().sample_sort_slice(arr, 0, len(arr))
1.2 选择类
1.2.1 简单选择排序 Selection Sort
平均时间复杂度：O(N^2)
最差时间复杂度：O(N^2)
最优时间复杂度：O(N^2)
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：不稳定，旧的最小值和新的最小值交换时，可能改变等值元素的相对顺序。
1.2.1.1【超时】选最小值版
- 外循环倒序：i 是本轮选择结束后，应排好序的元素位置。先把最小值位置0排好，再把第二小位置1排好。
- 内循环随意：j 是检查指针，从前向后/从后向前都可以，没有影响，注意已经排好的元素无需再检查。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
min_index = i
for j in range(i+1, n):
if arr[j] < arr[min_index]:
min_index = j
if min_index != i:
arr[min_index], arr[i] = arr[i], arr[min_index]
return arr
1.2.1.2【超时】选最大值版
- 外循环倒序：i 是本轮选择结束后，应排好序的元素位置，先把最大值位置n-1排好，再把第二大位置n-2排好。
- 内循环随意：j 是检查指针，从前向后/从后向前都可以，没有影响，注意已经排好的元素无需再检查。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
for i in range(n-1, 0, -1):
max_idx = i
for j in range(0, i):
if arr[j] > arr[max_idx]:
max_idx = j
if max_idx != i:
arr[max_idx], arr[i] = arr[i], arr[max_idx]
return arr
1.2.1.3 降序版
只需把比较运算符号换成 >，变量名称 min_index 改不改都没有影响。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序版"""
n = len(arr)
for i in range(n):
min_index = i
for j in range(i+1, n):
if arr[j] > arr[min_index]:
min_index = j
if min_index != i:
arr[min_index], arr[i] = arr[i], arr[min_index]
return arr
1.2.1.4 选择排序 VS 冒泡排序
- 选择排序每轮至多交换一次；冒泡排序每轮一般交换多次。
- 选择排序不利用任何初始位置，本轮也不会为下轮提供任何信息，因此无优化空间，最优/最差/平均时间复杂度都一样；冒泡排序有优化空间，能改善最优时间复杂度。
1.2.2【超时】树形选择排序 Tree Selection Sort / 锦标赛排序 Tournament Sort
优点：使用完全二叉树保存上一轮的选择过程，下轮选择时利用这些信息减少比较次数，从而降低了时间复杂度，由O(N^2)降到O(N * lgN)。
缺点： 辅助空间使用多，与无穷大的比较多余。（堆排序弥补了这些缺点）
Tournament Tree：叶子节点是参赛者，非叶子节点是赢家。
1.2.2.1【超时】胜者树选最小值版
- 初始化树：计算叶子节点数量（
2 ^ k，k 是满足2 ^ k >= n的最小值）、总节点数量（叶子节点数量 * 2 - 1）。注意树列表下标从1开始，忽略下标0，否则后续计算父节点下标会略麻烦。 - 构建树：填充叶子节点，当数组元素不够时，用无穷大填充。根据叶子节点生成父节点（选最小值），直到根结点。
- 排序：每轮选择当前最小值（即根结点）覆盖到原数组上，找出其对应叶子节点的下标，把此叶子节点更新成无穷大，重新生成其父节点，直到根结点。
- 注意奇数下标是右节点，必须与对应左节点（-1）进行比较，而偶数下标是左节点，必须与对应右节点（+1）进行比较。当两个节点相等时，总是选择左节点，从而保证稳定排序。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""选最小值，树下标从1开始，稳定排序"""
n = len(arr)
max_float = float("inf")
base_size = 1
while base_size < n:
base_size *= 2
tree_size = base_size * 2 - 1
tree = [0] * (tree_size + 1)
# 填充叶子节点
i = -1
while i >= -n:
tree[i] = arr[i]
i -= 1
while i >= -base_size:
tree[i] = max_float
i -= 1
# 构建树
i = tree_size
while i > 0:
if tree[i] < tree[i-1]:
tree[i // 2] = tree[i]
else:
tree[i // 2] = tree[i-1]
i -= 2
# 排序：拿走最小值并调整树，奇数下标是右节点，当左右节点相等时，总是选择左节点，从而保证稳定排序
sorted_idx = 0
while sorted_idx < n:
min_val = tree[1]
arr[sorted_idx] = min_val
sorted_idx += 1
min_idx = tree_size
while tree[min_idx] != min_val:
min_idx -= 1
tree[min_idx] = max_float
while min_idx > 1:
if min_idx % 2 == 0:
if tree[min_idx] <= tree[min_idx+1]:
tree[min_idx // 2] = tree[min_idx]
else:
tree[min_idx // 2] = tree[min_idx+1]
else:
if tree[min_idx] < tree[min_idx-1]:
tree[min_idx // 2] = tree[min_idx]
else:
tree[min_idx // 2] = tree[min_idx-1]
min_idx //= 2
return arr
1.2.3 堆排序 Heap Sort
平均时间复杂度：O(N * lgN)
最差时间复杂度：O(N * lgN) 详见《算法导论》6.4 章节
最优时间复杂度：O(N * lgN)
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：不稳定，排序时需要把 0 节点元素与end 节点元素交换，可能破环end 节点与其等值元素的相对次序。
构建最大堆
- 从最后一个节点到0节点，依次视为根结点，调整成合法堆。
- 每一轮调整后，当前根结点及以下就构成了一个合法堆。
堆排序
- 最大堆的0节点是最大值，交换到 end 位置，就排好了一个元素。
- 交换后的0节点是一个新元素，并且堆size也缩小了一位（end -= 1），把新的小堆调整至合法。
调整堆函数有三种写法：递归版、迭代版（栈）、迭代版（变量更新）。
1.2.3.1【超时】递归版
调整堆函数
- 接收原数组和 root、end 两个指针，就地排序，无需返回值。
- 已知根结点是不合法的新元素，而一层子节点及以下都是合法堆（子节点下标：child = root * 2 + 1）
- 如果根结点小于较大的那个一层子节点，说明需要交换，即新元素下沉到了 child 位置，继续以 child 位置为根结点，递归检查二层子节点。
- 如果根结点比两个一层子节点都大，说明无需再检查了。
- 隐含的2种递归终止情形：根结点比两个一层子节点都大；根结点没有子节点了。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
# 【一】构建最大堆
for root in range(n-1, -1, -1):
self.adjust_heap(arr, root, n-1)
# 【二】堆排序
for end in range(n-1, 0, -1):
arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
self.adjust_heap(arr, 0, end-1)
return arr
def adjust_heap(self, arr, root, end):
"""递归版"""
child = root * 2 + 1
if child <= end:
if child+1 <= end and arr[child+1] > arr[child]:
child += 1
if arr[child] > arr[root]:
arr[child], arr[root] = arr[root], arr[child]
self.adjust_heap(arr, child, end)
1.2.3.2【超时】迭代版（栈）
调整堆函数可以用栈来实现，即把递归函数的变参 root 放到栈里，while循环的下轮再弹出，直到栈空结束。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
# 【一】构建最大堆
for root in range(n-1, -1, -1):
self.adjust_heap(arr, root, n-1)
# 【二】堆排序
for end in range(n-1, 0, -1):
arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
self.adjust_heap(arr, 0, end-1)
return arr
def adjust_heap(self, arr, root, end):
"""迭代版：栈"""
stack = [root]
while stack:
root = stack.pop()
child = root * 2 + 1
if child <= end:
if child+1 <= end and arr[child+1] > arr[child]:
child += 1
if arr[child] > arr[root]:
arr[child], arr[root] = arr[root], arr[child]
stack.append(child)
1.2.3.3【通过】迭代版（变量更新）
把递归调用自己时的变参 root 更新一下，while 循环的下轮继续使用，需要显示声明循环结束的2种情形：根结点比两个一层子节点都大；根结点没有子节点了。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
# 【一】构建最大堆
for root in range(n-1, -1, -1):
self.adjust_heap(arr, root, n-1)
# 【二】堆排序
for end in range(n-1, 0, -1):
arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
self.adjust_heap(arr, 0, end-1)
return arr
def adjust_heap(self, arr, root, end):
"""迭代版：变量更新"""
while True:
child = root * 2 + 1
if child > end:
break
if child + 1 <= end and arr[child + 1] > arr[child]:
child += 1
if arr[child] > arr[root]:
arr[child], arr[root] = arr[root], arr[child]
root = child
else:
break
注意
构建最大堆时：可以先计算出最后一个非叶子节点下标，从最后一个非叶子节点到 0 节点，依次作为根结点，调整成合法堆。
不计算也没什么影响，因为调整堆函数中会先判断是否有子节点，没有就直接返回了。
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
# 【一】构建最大堆
last_no_leaf = int(n/2 - 1)
for root in range(last_no_leaf, -1, -1):
self.adjust_heap(arr, root, n-1)
1.2.3.4 降序版
降序需要构建最小堆，其实只需把调整堆函数中的两个比较符号换成 <
class Solution:
def MySort(self, arr):
n = len(arr)
# 【一】构建最小堆
for root in range(n-1, -1, -1):
self.adjust_heap(arr, root, n-1)
# 【二】堆排序
for end in range(n-1, 0, -1):
arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
self.adjust_heap(arr, 0, end-1)
return arr
def adjust_heap(self, arr, root, end):
"""降序版"""
child = root * 2 + 1
if child <= end:
if child+1 <= end and arr[child+1] < arr[child]:
child += 1
if arr[child] < arr[root]:
arr[child], arr[root] = arr[root], arr[child]
self.adjust_heap(arr, child, end)
1.3 插入类
1.3.1 直接插入排序 Insert Sort
平均时间复杂度：O(N^2) 详见《算法导论》2.2 章节
最差时间复杂度：O(N^2)
最优时间复杂度：O(N)
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：稳定，新元素只会插入到其等值元素的后面。
1.3.1.1【超时】交换插入版
- 外循环用一个正序指针摸新牌，内循环 while 检查有序的左邻旧牌。
- 只需这一个指针，就能完成整个排序。因为指针跟着新牌向左走，内循环检查左邻旧牌时只要遇到了不用交换的情况，内循环就结束了。
class Solution:
def MySort(self , arr ):
"""排升序"""
for new in range(1, len(arr)):
while new-1 >= 0 and arr[new] < arr[new-1]:
arr[new], arr[new-1] = arr[new-1], arr[new]
new -= 1
return arr
1.3.1.2【超时】直接插入版（挖坑）
- 先把新牌值单独用一个变量保存起来，相当于在此位置挖了个坑。
- 把交换改成赋值，相当于填旧坑，挖新坑。
- 最后把新牌值放到最新的坑中。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""挖坑版"""
for i in range(1, len(arr)):
new_val = arr[i]
while i - 1 >= 0 and new_val < arr[i - 1]:
arr[i] = arr[i - 1]
i -= 1
arr[i] = new_val
return arr
1.3.1.3 降序版
只需把新旧牌的比较符号换成 >
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序版"""
for new in range(1, len(arr)):
while new - 1 >= 0 and arr[new] > arr[new-1]:
arr[new], arr[new-1] = arr[new-1], arr[new]
new -= 1
return arr
1.3.2 二分插入排序 Binary Insert Sort
二分查找能减少比较次数，不影响移动次数，虽然能够提高查找效率，但时间复杂度不变。 详解
1.3.2.1【超时】直接插入版（挖坑）
- 内循环使用左右两个指针折半缩小查找范围，循环结束时左指针就是新牌应放置的正确位置。
- 从后向前挖坑填坑，最后把新牌填到左指针的坑里。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""折半插入排序"""
for i in range(1, len(arr)):
new_val = arr[i]
left = 0
right = i - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if new_val < arr[mid]:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
for j in range(i, left, -1):
arr[j] = arr[j-1]
arr[left] = new_val
return arr
1.3.3 2-路插入排序
2-路插入排序在二分插入排序的基础上减少移动次数，虽然能够同时提高查找和移动效率，但时间复杂度不变。
1.3.3.1【超时】直接插入版（挖坑）
- 在二分查找之前加两个条件判断：小于队头、大于队尾。
- 注意折半查找的左右指针初始范围改成队头和队尾。
- 注意折半查找完移动元素时，队尾指针要后移。
- 最后整理成队头从0开始的正常顺序返回。
class Solution:
def MySort(self, arr):
first = 0
last = 0
tmp_list = [0] * len(arr)
tmp_list[0] = arr[0]
for i in range(1, len(arr)):
new_val = arr[i]
if new_val < tmp_list[first]:
first -= 1
tmp_list[first] = new_val
elif new_val >= tmp_list[last]:
last += 1
tmp_list[last] = new_val
else:
left = first
right = last - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if new_val < tmp_list[mid]:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
last += 1
for j in range(last, left, -1):
tmp_list[j] = tmp_list[j - 1]
tmp_list[left] = new_val
return [tmp_list[idx] for idx in range(first, last+1)]
1.3.4 希尔排序 Shell Sort
希尔排序是多轮步长递减的插入排序。
由于：
- 【场景1】插入排序算法在数组基本有序的情况下，可以近似达到
O(N)复杂度，效率极高。 - 【场景2】但插入排序每次只能将数据移动一位，在数组较大且基本无序的情况下性能会迅速恶化。
希尔排序一开始的数据移动幅度很大，逐渐降到1，提高了【场景2】下的效率，又利用了【场景1】中的优势。
平均时间复杂度：根据增量序列的不同而不同，大体范围O(N^M)，1 < M < 2，详见 排序算法之希尔排序及其增量序列
最差时间复杂度：根据增量序列的不同而不同，大体范围O(N^M)，1 < M < 2
最优时间复杂度：O(N)
原址性：原址，只有交换元素时需要在原数组之外临时存储一个元素。
稳定性：不稳定，虽然一次插入排序是稳定的，但等值元素会在不同增量的插入排序中移动，其相对次序可能被打乱。
1.3.4.1【超时】原始Shell增量序列版
- 把插入排序的 1 都替换为 gap。
- 外面再套一层循环，控制 gap 从一个大值逐渐降到 1。
希尔排序提出时，其原始增量序列为：{1,2,4,8,...}，最差时间复杂度为O(N^2)。
- 第一轮的步长：数组长度除以2并向下取整，即
gap = len(arr) // 2。 - 第二轮的步长：第一轮的增量除以2并向下取整，即
gap //= 2。 - 最后一轮的步长：1。
class Solution:
def MySort(self, arr):
gap = len(arr) // 2
while gap >= 1:
for new in range(gap, len(arr)):
while new-gap >= 0 and arr[new] < arr[new-gap]:
arr[new], arr[new-gap] = arr[new-gap], arr[new]
new -= gap
gap //= 2
return arr
1.3.4.2【超时】Hibbard增量序列
Hibbard提出了另一个增量序列{1,3,7，...,2^k-1}，最差时间复杂度为O(N^1.5)，平均时间复杂度约为O(N^1.25)。
class Solution:
def MySort(self, arr):
gap_list = self.get_gap_list(len(arr))
for gap in reversed(gap_list):
for new in range(gap, len(arr)):
while new - gap >= 0 and arr[new] < arr[new - gap]:
arr[new], arr[new - gap] = arr[new - gap], arr[new]
new -= gap
return arr
def get_gap_list(self, n):
k = 0
gap_list = list()
while True:
gap = 2 ** k - 1
if gap <= n:
gap_list.append(gap)
else:
break
k += 1
return gap_list
1.3.4.3【通过】Sedgewick增量序列
Sedgewick提出了几种增量序列，最差时间复杂度为O(N^1.33)，平均时间复杂度约为O(N^1.17)，其中最好的一个序列是{1,5,19,41,109,...}，其生成序列是D = 9 * 4^i - 9 * 2^i + 1 或 4^(i+2) - 3 * 2^(i+2) + 1 ，其中 i>=0。
class Solution:
def MySort(self, arr):
gap_list = self.get_gap_list(len(arr))
for gap in reversed(gap_list):
for new in range(gap, len(arr)):
while new - gap >= 0 and arr[new] < arr[new - gap]:
arr[new], arr[new - gap] = arr[new - gap], arr[new]
new -= gap
return arr
def get_gap_list(self, n):
i = 0
gap_list = list()
while True:
gap = 9 * (4**i) - 9 * (2**i) + 1
if gap <= n:
gap_list.append(gap)
gap = 4 ** (i+2) - 3 * 2 ** (i+2) + 1
if gap <= n:
gap_list.append(gap)
else:
break
i += 1
return gap_list
1.3.4.4 降序版
跟插入排序一样，只需把新旧牌的比较符号换成 >
class Solution:
def MySort(self, arr):
gap = len(arr) // 2
while gap >= 1:
for new in range(gap, len(arr)):
while new-gap >= 0 and arr[new] > arr[new-gap]:
arr[new], arr[new-gap] = arr[new-gap], arr[new]
new -= gap
gap //= 2
return arr
1.4 归并类
1.4.1 归并排序 Merge Sort
平均时间复杂度：O(N * lgN)
最差时间复杂度：O(N * lgN) 详见《算法导论》2.3.2 章节
最优时间复杂度：O(N * lgN)
原址性：非原址，合并时需要在原数组之外临时存储输出数组。
稳定性：稳定，合并时遇到等值元素总是选择左子区间的。
1.4.1.1【通过】自上而下递归版
- 使用 middle_idx 指针把数组一分为二，对左右两个子数组的递归结果做 merge。
- merge 函数使用 while 循环每轮在两个子序列中弹出0元素的较小值，放入新数组。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""自上而下的递归"""
if len(arr) == 1:
return arr
middle_idx = len(arr) // 2
return self.merge(self.MySort(arr[:middle_idx]), self.MySort(arr[middle_idx:]))
def merge(self, left, right):
"""合并函数：pop(0)写法"""
ret = list()
while left and right:
if left[0] <= right[0]:
ret.append(left.pop(0))
else:
ret.append(right.pop(0))
return ret + left + right
1.4.1.2【通过】自下而上迭代版（变量更新）
- 外循环控制步长step每轮翻一倍，内循环控制（ls, le）、（rs, re）两对指针，对这两个子数组做 merge，并覆盖到原数组上。
- merge函数使用 while 循环控制 i、j 两个指针检查比较两个子序列，放入新数组并返回。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""自下而上的迭代"""
step = 1
while step < len(arr):
ls = 0
while ls + step < len(arr):
le = rs = ls + step
re = rs + step
if re > len(arr):
re = len(arr)
arr[ls:re] = self.merge(arr[ls:le], arr[rs:re])
ls += step * 2
step *= 2
return arr
def merge(self, left, right):
"""合并函数：指针写法"""
ret = list()
i = j = 0
while i < len(left) and j < len(right):
if left[i] <= right[j]:
ret.append(left[i])
i += 1
else:
ret.append(right[j])
j += 1
return ret + left[i:] + right[j:]
1.4.1.3 降序版
只需把 merge 函数的比较符号换成 >=
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序版"""
if len(arr) == 1:
return arr
middle_idx = len(arr) // 2
return self.merge(self.MySort(arr[:middle_idx]), self.MySort(arr[middle_idx:]))
def merge(self, left, right):
"""合并函数：pop(0)写法"""
ret = list()
while left and right:
if left[0] >= right[0]:
ret.append(left.pop(0))
else:
ret.append(right.pop(0))
return ret + left + right
1.4.2 TimSort
TimSort 是一种自适应的、稳定的、自然的 MergeSort。
时间复杂度：降低了O(N * lgN)的常数因子。
1.4.2.1【通过】JDK1.8 翻译版
CPython 标准库函数 list.sort() 在 <= 2.2.3 的版本中，底层算法使用的是 SampleSort。而 >= 2.3.0 的版本中，底层算法使用的是 Timsort。
- 小数组无需归并，使用二分插入排序返回即可。大数组需要归并，先计算最小 run 长度，长度不足此值的 run 需要用二分插入排序补足。
- 整个流程是从左到右遍历数组一次，每识别出一个 run 就入栈，并检查栈顶的三个 run，如果符合归并条件则归并其中两个相邻的 run。遍历结束后，把堆栈中剩余的 run 都归并成一个，完成排序。
- 具体来说，每次归并开始前，先通过 gallop 查找法分别缩小两个 run 的待归并区间。
- 为了节省空间，把较短的 run 拷贝到临时数组中，arr 上空出来的区域用于保存归并值。
- 为了减少比较次数，如果左 run 更短则从左侧开始检查，选择小值保存到 arr 上；如果右 run 更短则从右侧开始检查，选择大值保存到 arr 上。
- 归并时，先使用【普通归并模式】，一次一对地检查，如果其中一个 run 的连续胜出次数达到触发阈值，则切换到【Gallop 模式】，即通过 gallop 查找法，一次性找出所有能连续胜出的值。如果达不到停留阈值，则再切换回【普通归并模式】。
- 在归并过程中，根据【Gallop 模式】的停留轮次、退出次数，自适应地调整触发阈值。
run ：数组中本身存在的有序区间，如果是降序则会就地转成升序。
gallop 查找法：先通过指数查找法（1、3、7、15、31、63 … 2^n-1），快速找到正确位置的大致范围，然后在这个这个范围中用二分查找法锁定最终的正确位置。
Python 版 TimSort 算法
Timsort 介绍（listsort.txt 翻译）
class Solution:
def __init__(self):
"""初始化阈值、堆栈"""
self.MIN_MERGE = 32
self.MIN_GALLOP = 7
self.min_gallop = self.MIN_GALLOP
self.stack_size = 0
self.run_base = []
self.run_len = []
def MySort(self, arr):
"""排序方法"""
lo = 0
hi = len(arr)
assert (arr is not None) and (lo >= 0) and (lo <= hi) and (hi <= len(arr))
n_remaining = hi - lo
if n_remaining < 2:
return arr
if n_remaining < self.MIN_MERGE:
init_run_len = self.countRunAndMakeAscending(arr, lo, hi)
self.binarySort(arr, lo, hi, lo + init_run_len)
return arr
min_run = self.minRunLength(n_remaining)
while n_remaining:
run_len = self.countRunAndMakeAscending(arr, lo, lo + n_remaining)
if run_len < min_run:
force = n_remaining if n_remaining <= min_run else min_run
self.binarySort(arr, lo=lo, hi=lo+force, start=lo+run_len)
run_len = force
self.pushRun(lo, run_len)
self.mergeCollapse(arr)
lo += run_len
n_remaining -= run_len
assert lo == hi
self.mergeForceCollapse(arr)
assert self.stack_size == 1
return arr
def binarySort(self, arr, lo, hi, start):
"""对数组的指定区间进行二分插入排序，通过 start 参数能跳过已知有序区，直接从无序区开始排序"""
assert (lo <= start) and (start <= hi)
if lo == start:
start += 1
while start < hi:
pivot = arr[start]
left = lo
right = start
assert left <= right
while left < right:
mid = (left + right) >> 1
if pivot < arr[mid]:
right = mid
else:
left = mid + 1
assert left == right
n = start - left
arr[left + 1:left + 1 + n] = arr[left:left + n]
arr[left] = pivot
start += 1
def countRunAndMakeAscending(self, arr, lo, hi):
"""从数组的指定位置开始寻找有序部分作为初始 run，如果是降序则就地转成升序，返回有序部分的长度"""
assert lo < hi
run_hi = lo + 1
if run_hi == hi:
return 1
if arr[run_hi] < arr[lo]:
run_hi += 1
while run_hi < hi and arr[run_hi] < arr[run_hi - 1]:
run_hi += 1
arr[lo:run_hi] = reversed(arr[lo:run_hi])
else:
while run_hi < hi and arr[run_hi] >= arr[run_hi - 1]:
run_hi += 1
return run_hi - lo
def minRunLength(self, n):
"""根据待排序元素个数计算 min_run（最小 run 长度）"""
assert n >= 0
r = 0
while n >= self.MIN_MERGE:
r |= n & 1
n >>= 1
return n + r
def pushRun(self, run_base, run_len):
"""把 run 的起始位置和长度这两个变量放入堆栈"""
if len(self.run_base) <= self.stack_size:
self.run_base.append(run_base)
self.run_len.append(run_len)
else:
self.run_base[self.stack_size] = run_base
self.run_len[self.stack_size] = run_len
self.stack_size += 1
def mergeCollapse(self, arr):
"""检查堆栈中的 run，如果符合以下条件则进行归并：
1）如果堆栈中有三个及以上的 run，则归并条件为：倒三长度 <= 倒二长度 + 倒一长度
2）如果堆栈中只有两个 run，则归并条件为：倒二长度 <= 倒一长度
"""
while self.stack_size > 1:
n = self.stack_size - 2
if n > 0 and self.run_len[n-1] <= self.run_len[n] + self.run_len[n+1]:
if self.run_len[n-1] < self.run_len[n+1]:
n -= 1
self.mergeAt(arr, n)
elif self.run_len[n] <= self.run_len[n+1]:
self.mergeAt(arr, n)
else:
break
def mergeForceCollapse(self, arr):
"""归并堆栈中的所有 run，直到只剩一个，这个方法只会调用一次来完成排序"""
while self.stack_size > 1:
n = self.stack_size - 2
if n > 0 and self.run_len[n - 1] < self.run_len[n + 1]:
n -= 1
self.mergeAt(arr, n)
def mergeAt(self, arr, i):
"""归并堆栈中的第 i 个和第 i+1 个 run。i 必须是 run 堆栈中的倒数第二或倒数第三个下标"""
assert self.stack_size >= 2
assert i >= 0
assert i == self.stack_size - 2 or i == self.stack_size - 3
base1 = self.run_base[i]
len1 = self.run_len[i]
base2 = self.run_base[i + 1]
len2 = self.run_len[i + 1]
assert len1 > 0 and len2 > 0
assert base1 + len1 == base2
self.run_len[i] = len1 + len2
if i == self.stack_size - 3:
self.run_base[i + 1] = self.run_base[i + 2]
self.run_len[i + 1] = self.run_len[i + 2]
self.stack_size -= 1
"""分别缩小两个 run 的待归并区间"""
k = self.gallopRight(key=arr[base2], arr=arr, base=base1, len_=len1, hint=0)
assert k >= 0
base1 += k
len1 -= k
if len1 == 0:
return
len2 = self.gallopLeft(key=arr[base1+len1-1], arr=arr, base=base2, len_=len2, hint=len2-1)
assert len2 >= 0
if len2 == 0:
return
"""归并这两个已缩小的 run"""
if len1 <= len2:
self.mergeLo(arr, base1, len1, base2, len2)
else:
self.mergeHi(arr, base1, len1, base2, len2)
def gallopLeft(self, key, arr, base, len_, hint):
"""在数组的待搜索区间中，查找指定值（key）应当插入的正确位置；如果存在与 key 等值的元素，则返回是这些相等值中最左边的位置"""
assert (len_ > 0) and (hint >= 0) and (hint < len_)
last_ofs = 0
ofs = 1
if key > arr[base + hint]:
max_ofs = len_ - hint
while ofs < max_ofs and key > arr[base + hint + ofs]:
last_ofs = ofs
ofs = (ofs << 1) + 1
if ofs <= 0:
ofs = max_ofs
if ofs > max_ofs:
ofs = max_ofs
last_ofs += hint
ofs += hint
else:
max_ofs = hint + 1
while ofs < max_ofs and key <= arr[base + hint - ofs]:
last_ofs = ofs
ofs = (ofs << 1) + 1
if ofs <= 0:
ofs = max_ofs
if ofs > max_ofs:
ofs = max_ofs
tmp = last_ofs
last_ofs = hint - ofs
ofs = hint - tmp
assert (-1 <= last_ofs) and (last_ofs < ofs) and (ofs <= len_)
last_ofs += 1
while last_ofs < ofs:
m = last_ofs + ((ofs - last_ofs) >> 1)
if key > arr[base + m]:
last_ofs = m + 1
else:
ofs = m
assert last_ofs == ofs
return ofs
def gallopRight(self, key, arr, base, len_, hint):
"""与 gallopRight 相似，区别在于：如果存在与 key 等值的元素，则返回是这些相等值中最右边的位置"""
assert (len_ > 0) and (hint >= 0) and (hint < len_)
last_ofs = 0
ofs = 1
if key < arr[base + hint]:
max_ofs = hint + 1
while ofs < max_ofs and key < arr[base + hint - ofs]:
last_ofs = ofs
ofs = (ofs << 1) + 1
if ofs <= 0:
ofs = max_ofs
if ofs > max_ofs:
ofs = max_ofs
tmp = last_ofs
last_ofs = hint - ofs
ofs = hint - tmp
else:
max_ofs = len_ - hint
while ofs < max_ofs and key >= arr[base + hint + ofs]:
last_ofs = ofs
ofs = (ofs << 1) + 1
if ofs <= 0:
ofs = max_ofs
if ofs > max_ofs:
ofs = max_ofs
last_ofs += hint
ofs += hint
assert (-1 <= last_ofs) and (last_ofs < ofs) and (ofs <= len_)
last_ofs += 1
while last_ofs < ofs:
m = last_ofs + ((ofs - last_ofs) >> 1)
if key > arr[base + m]:
last_ofs = m + 1
else:
ofs = m
assert last_ofs == ofs
return ofs
def mergeLo(self, arr, base1, len1, base2, len2):
"""从左端的最小值开始检查，按小值合并两个相邻的 run，保持排序的稳定性"""
assert len1 > 0 and len2 > 0 and base1 + len1 == base2
tmp = []
cursor1 = 0
cursor2 = base2
dest = base1
tmp[cursor1:cursor1+len1] = arr[base1:base1+len1]
arr[dest] = arr[cursor2]
dest += 1
cursor2 += 1
len2 -= 1
if len2 == 0:
arr[dest:dest+len1] = tmp[cursor1:cursor1+len1]
return
if len1 == 1:
arr[dest:dest+len2] = arr[cursor2:cursor2+len2]
arr[dest+len2] = tmp[cursor1]
return
min_gallop = self.min_gallop
break_outer = False
while True:
count1 = 0
count2 = 0
"""【普通归并模式】"""
while True:
assert len1 > 1 and len2 > 0
if arr[cursor2] < tmp[cursor1]:
arr[dest] = arr[cursor2]
dest += 1
cursor2 += 1
count2 += 1
count1 = 0
len2 -= 1
if len2 == 0:
break_outer = True
break
else:
arr[dest] = tmp[cursor1]
dest += 1
cursor1 += 1
count1 += 1
count2 = 0
len1 -= 1
if len1 == 1:
break_outer = True
break
if (count1 | count2) >= min_gallop:
break
if break_outer:
break
"""【GALLOP 模式】"""
while True:
assert len1 > 1 and len2 > 0
count1 = self.gallopRight(key=arr[cursor2], arr=tmp, base=cursor1, len_=len1, hint=0)
if count1 != 0:
arr[dest:dest+count1] = tmp[cursor1:cursor1+count1]
dest += count1
cursor1 += count1
len1 -= count1
if len1 <= 1:
break_outer = True
break
arr[dest] = arr[cursor2]
dest += 1
cursor2 += 1
len2 -= 1
if len2 == 0:
break_outer = True
break
count2 = self.gallopLeft(key=tmp[cursor1], arr=arr, base=cursor2, len_=len2, hint=0)
if count2 != 0:
arr[dest:dest+count2] = arr[cursor2:cursor2+count2]
dest += count2
cursor2 += count2
len2 -= count2
if len2 == 0:
break_outer = True
break
arr[dest] = tmp[cursor1]
dest += 1
cursor1 += 1
len1 -= 1
if len1 == 1:
break_outer = True
break
min_gallop -= 1
if not (count1 >= self.MIN_GALLOP | count2 >= self.MIN_GALLOP):
break
if break_outer:
break
if min_gallop < 0:
min_gallop = 0
min_gallop += 2
self.min_gallop = 1 if min_gallop < 1 else min_gallop
if len1 == 1:
assert len2 > 0
arr[dest:dest+len2] = arr[cursor2:cursor2+len2]
arr[dest + len2] = tmp[cursor1]
elif len1 == 0:
raise Exception("IllegalArgument")
else:
assert len2 == 0
assert len1 > 1
arr[dest:dest+len1] = tmp[cursor1:cursor1+len1]
def mergeHi(self, arr, base1, len1, base2, len2):
"""与 mergeLo 相似，区别在于从右端的最大值开始检查，按大值合并"""
assert len1 > 0 and len2 > 0 and base1 + len1 == base2
tmp = []
tmp_base = 0
tmp[tmp_base:tmp_base+len2] = arr[base2:base2+len2]
cursor1 = base1 + len1 - 1
cursor2 = tmp_base + len2 - 1
dest = base2 + len2 - 1
arr[dest] = arr[cursor1]
dest -= 1
cursor1 -= 1
len1 -= 1
if len1 == 0:
arr[dest+1-len2:dest+1] = tmp[tmp_base:tmp_base+len2]
return
if len2 == 1:
dest -= 1
cursor1 -= len1
arr[dest+1:dest+1+len1] = arr[cursor1+1:cursor1+1+len1]
arr[dest] = tmp[cursor2]
return
min_gallop = self.min_gallop
break_outer = False
while True:
count1 = 0
count2 = 0
"""【普通归并模式】"""
while True:
assert len1 > 0 and len2 > 1
if tmp[cursor2] < arr[cursor1]:
arr[dest] = arr[cursor1]
dest -= 1
cursor1 -= 1
count1 += 1
count2 = 0
len1 -= 1
if len1 == 0:
break_outer = True
break
else:
arr[dest] = tmp[cursor2]
dest -= 1
cursor2 -= 1
count2 += 1
count1 = 0
len2 -= 1
if len2 == 1:
break_outer = True
break
if (count1 | count2) >= min_gallop:
break
if break_outer:
break
""""【GALLOP 模式】"""
while True:
assert len1 > 0 and len2 > 1
count1 = len1 - self.gallopRight(key=tmp[cursor2], arr=arr, base=base1, len_=len1, hint=len1-1)
if count1 != 0:
dest -= count1
cursor1 -= count1
len1 -= count1
arr[dest+1:dest+1+count1] = arr[cursor1+1:cursor1+1+count1]
if len1 == 0:
break_outer = True
break
arr[dest] = tmp[cursor2]
dest -= 1
cursor2 -= 1
len2 -= 1
if len2 == 1:
break_outer = True
break
count2 = len2 - self.gallopLeft(key=arr[cursor1], arr=tmp, base=tmp_base, len_=len2, hint=len2-1)
if count2 != 0:
dest -= count2
cursor2 -= count2
len2 -= count2
arr[dest+1:dest+1+count2] = tmp[cursor2+1:cursor2+1+count2]
if len2 <= 1:
break_outer = True
break
arr[dest] = arr[cursor1]
dest -= 1
cursor1 -= 1
len1 -= 1
if len1 == 0:
break_outer = True
break
min_gallop -= 1
if not (count1 >= self.MIN_GALLOP | count2 >= self.MIN_GALLOP):
break
if break_outer:
break
if min_gallop < 0:
min_gallop = 0
min_gallop += 2
self.min_gallop = 1 if min_gallop < 1 else min_gallop
if len2 == 1:
assert len1 > 0
dest -= len1
cursor1 -= len1
arr[dest+1:dest+1+len1] = arr[cursor1+1:cursor1+1+len1]
arr[dest] = tmp[cursor2]
elif len2 == 0:
raise Exception("IllegalArgumentException")
else:
assert len1 == 0
assert len2 > 0
arr[dest+1-len2:dest+1] = tmp[tmp_base:tmp_base+len2]
2 非比较排序算法
以下四种非比较排序算法都基于【分桶+合并桶】的思想，也称基于分配的排序算法。《算法导论》在第 8 章（线性时间排序）中讨论了这些算法。
- 鸽巢/计数排序将所有等值元素分入同一个桶中（即计数加1），元素值直接映射成桶下标。
- 桶排序将一定范围内的元素都分入同一个桶中，元素值经过计算映射成桶下标。
- 基数排序将当前位值相同的元素都分入同一个桶中，元素值根据当前位值映射成桶下标。
2.1 鸽巢排序 Pigeonhole Sort
可以视为计数排序的简易版，是不稳定的排序算法，等值元素的相对次序无法区分。
2.1.1【超时】简易版
- 根据数组最大值初始化 count_list，元素均为零。
- 【分桶】把元素值作为 count_list 的下标，对每个元素值的计数。
- 【合并桶】遍历 count_list 的下标，根据计数添加到新数组中并返回。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""返回新数组"""
max_val = max(arr)
count_list = [0] * (max_val+1)
ret = list()
for val in arr:
count_list[val] += 1
for val in range(len(count_list)):
if count_list[val] != 0:
ret.extend([val] * count_list[val])
return ret
2.1.2【超时】偏移最小值版
为了缩短 count_list，按最小值进行偏移：
- arr元素值 = count_list的下标 + min_val偏移
- 对应的count_list元素值为该arr元素值的计数
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""覆盖原数组 + 偏移最小值"""
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
count_list = [0] * (max_val - min_val + 1)
sorted_idx = 0
for val in arr:
count_list[val - min_val] += 1
for val in range(len(count_list)):
while count_list[val] > 0:
arr[sorted_idx] = val + min_val
sorted_idx += 1
count_list[val] -= 1
return arr
2.2 计数排序 Counting Sort
假设前提：输入元素都是 [0,K] 区间内的整数，K 为某个整数。
平均时间复杂度：O(N + K)，当 K = O(N) 时，计数排序是线性运行时间O(N) ，详见《算法导论》8.2 章节。
最差时间复杂度：O(N + K)
最优时间复杂度：O(N + K)
所需辅助空间：O(N + K)，需要长度为 N 的空间保存输出数组，长度为 K 的空间保存桶列表本身。
稳定性：稳定，使用累加和能唯一标识每个元素的最终排序位置，配合倒序遍历原数组，使得等值元素的相对次序不变。
2.2.1【超时】累加和版
- 根据数组最大值和最小值，初始化 count_list，元素均为零。
- 【分桶】把元素值减最小值作为 count_list 的下标，对每个元素值计数。
- 将 count_list 的计数转为变为累加和，此时 count_list 值代表的是最终排序位置（因为数组从位置0开始，注意减1）。
- 【合并桶】从原数组的最后一个元素开始，倒着填充进新数组，每填充一个，count_list 值减一，从而达到稳定排序的效果。
class Solution:
def MySort(self, arr):
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
count_list = [0] * (max_val - min_val + 1)
ret = [0] * len(arr)
for val in arr:
count_list[val - min_val] += 1
for i in range(1, len(count_list)):
count_list[i] += count_list[i - 1]
for i in range(len(arr) - 1, -1, -1):
sorted_idx = count_list[arr[i] - min_val] - 1
ret[sorted_idx] = arr[i]
count_list[arr[i] - min_val] -= 1
return ret
2.2.2 降序版
由于序时 count_list 值代表的是最终排序位置，用 n - 1 减此升序位置就得到了降序位置。
class Solution:
def MySort(self, arr):
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
count_list = [0] * (max_val - min_val + 1)
ret = [0] * len(arr)
for val in arr:
count_list[val - min_val] += 1
for i in range(1, len(count_list)):
count_list[i] += count_list[i - 1]
for i in range(len(arr) - 1, -1, -1):
sorted_idx = (len(arr) - 1) - (count_list[arr[i] - min_val] - 1)
ret[sorted_idx] = arr[i]
count_list[arr[i] - min_val] -= 1
return ret
2.3 桶排序 Bucket Sort
平均时间复杂度：O(N)，即使输入数据不服从均匀分布，只要满足：所有桶的大小的平方和与总的元素数量呈线性关系，桶排序仍然可以在线性时间内完成，详见《算法导论》8.4 章节。
最差时间复杂度：O(N^2)
最优时间复杂度：O(N)
所需辅助空间：O(N+M)，N 个输入元素分别要拷贝到各个桶内，总共 M 个桶。
稳定性：取决于桶内元素排序时使用的算法，使用插入排序和自递归时稳定，使用快速排序不稳定。
2.3.1【通过】桶内元素排序使用插入排序
- 根据预定的桶数量确定桶大小（
bucket_size = (max_val - min_val) / (bucket_num - 1)），或者根据预定的桶大小确定桶数量（bucket_num = (max_val - min_val) // bucket_size + 1），初始化 bucket_list。 - 【分桶】根据元素值，计算出桶下标，元素值放入桶中。
- 【合并桶】对桶内元素调用其他算法排序或递归。
class Solution:
def MySort(self, arr):
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
bucket_num = len(arr)
bucket_size = (max_val - min_val) / (bucket_num - 1)
bucket_list = [[] for _ in range(bucket_num)]
for val in arr:
bucket_idx = int((val - min_val) / bucket_size)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
# 返回的是新数组
ret = list()
for bucket in bucket_list:
bucket = self.insertSort(bucket)
ret.extend(bucket)
return ret
def insertSort(self, arr):
for new in range(1, len(arr)):
while new - 1 >= 0 and arr[new] < arr[new-1]:
arr[new], arr[new-1] = arr[new-1], arr[new]
new -= 1
return arr
2.3.2【通过】桶内元素排序使用递归
class Solution:
def MySort(self, arr):
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
if max_val == min_val or len(arr) == 1:
return arr
bucket_num = len(arr)
bucket_size = (max_val - min_val) / (bucket_num - 1)
bucket_list = [[] for _ in range(bucket_num)]
for val in arr:
bucket_idx = int((val - min_val) / bucket_size)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
# 覆盖原数组
sorted_start_idx, sorted_end_idx = 0, 0
for bucket in bucket_list:
if bucket:
sorted_end_idx += len(bucket)
arr[sorted_start_idx:sorted_end_idx] = self.MySort(bucket)
sorted_start_idx = sorted_end_idx
return arr
2.3.3 降序版
只需把合并桶的顺序改成倒着遍历
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序版"""
max_val = max(arr)
min_val = min(arr)
if max_val == min_val or len(arr) == 1:
return arr
bucket_num = len(arr)
bucket_size = (max_val - min_val) / (bucket_num - 1)
bucket_list = [[] for _ in range(bucket_num)]
for val in arr:
bucket_idx = int((val - min_val) / bucket_size)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
# 降序需要倒着合并桶
sorted_start_idx, sorted_end_idx = 0, 0
for i in range(len(bucket_list)-1, -1, -1):
if bucket_list[i]:
sorted_end_idx += len(bucket_list[i])
arr[sorted_start_idx:sorted_end_idx] = self.MySort(bucket_list[i])
sorted_start_idx = sorted_end_idx
return arr
2.4 基数排序 Radix Sort
平均时间复杂度：O(d * (N+K) )，d 是位数，其中每一个位有 K 个可能的取值。N+K 表示按位排序时使用的是O(N+K)的稳定排序算法（例如，计数排序）。当 d 是常数且 K = O(N) 时，基数排序是线性运行时间O(N) ，详见《算法导论》8.3 章节。
最差时间复杂度：O(d * (N+K) )
最优时间复杂度：O(d * (N+K) )
所需辅助空间：O(N + K)，需要长度为 N 的空间在桶列表内保存每一轮的按位排序结果，长度为 K 的空间保存桶列表本身。
稳定性：如果按位排序时使用的是稳定排序算法（例如，计数排序），则基数排序稳定。
2.4.1【通过】最低位优先法 LSD
LSD：Least Significant Digit first
- 根据数组最大值计算最大位数，先按个位值【分桶】+【合并桶】，再按十位值【分桶】+【合并桶】，以此类推。
- 【每轮分桶】初始化10个空桶，根据元素值，计算当前位值，作为桶下标，把元素值放入桶中。
- 【每轮合并桶】遍历所有桶，按照先进先出原则把桶内元素覆盖到原数组上。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""最低位优先LSD"""
max_val = max(arr)
max_digit = 1
while max_val >= 10 ** max_digit:
max_digit += 1
for digit in range(max_digit):
bucket_list = [[] for _ in range(10)]
for val in arr:
bucket_idx = int(val / (10**digit) % 10)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
sorted_idx = 0
for bucket in bucket_list:
for val in bucket:
arr[sorted_idx] = val
sorted_idx += 1
return arr
2.4.2【超时】最高位优先法 MSD
MSD：Most Significant Digit first
- 根据数组最大值计算最大位数，按最高位调用递归函数。
- 递归函数接收原数组和当前位数，先根据当前位数分桶；合并桶时再把每个桶分别视为一个数组，对这个桶数组按低一位递归调用自己，从而实现对桶内元素的排序。
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""最高位优先MSD"""
if len(arr) <= 1:
return arr
max_val = max(arr)
max_digit = 1
while max_val >= 10 ** max_digit:
max_digit += 1
return self.sort_digit_recur(arr, max_digit-1)
def sort_digit_recur(self, arr, digit):
if digit < 0:
return arr
bucket_list = [[] for _ in range(10)]
for val in arr:
bucket_idx = int(val / (10 ** digit) % 10)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
ret = list()
for bucket in bucket_list:
if bucket:
sorted_bucket = self.sort_digit_recur(bucket, digit - 1)
ret.extend(sorted_bucket)
return ret
2.4.3 降序版
只需把每轮合并桶的顺序改成倒着遍历
class Solution:
def MySort(self, arr):
"""降序版"""
max_val = max(arr)
max_digit = 1
while max_val >= 10 ** max_digit:
max_digit += 1
for digit in range(max_digit):
bucket_list = [[] for _ in range(10)]
for val in arr:
bucket_idx = int(val / (10**digit) % 10)
bucket_list[bucket_idx].append(val)
sorted_idx = 0
for i in range(len(bucket_list)-1, -1, -1):
for val in bucket_list[i]:
arr[sorted_idx] = val
sorted_idx += 1
return arr
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