2021-10-19（树形dp）

1069. 凸多边形的划分

给定一个具有 N 个顶点的凸多边形，将顶点从 1 至 N 标号，每个顶点的权值都是一个正整数。

将这个凸多边形划分成 N−2 个互不相交的三角形，对于每个三角形，其三个顶点的权值相乘都可得到一个权值乘积，试求所有三角形的顶点权值乘积之和至少为多少。

输入格式
第一行包含整数 N，表示顶点数量。

第二行包含 N 个整数，依次为顶点 1 至顶点 N 的权值。

输出格式
输出仅一行，为所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值。

数据范围
N≤50,
数据保证所有顶点的权值都小于109
输入样例：

5
121 122 123 245 231

输出样例：
12214884

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 55;
int n;
int w[N];
vector<int>f[N][N];
bool cmp(vector<int>& a, vector<int>& b)
{
     
	if (a.size() != b.size())return a.size() < b.size();
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
		if (a[i] != b[i])
			return a[i] < b[i];
	return true;
}
vector<int>add(vector<int> a, vector<int> b)
{
     
	vector<int>c;
	int t = 0;
	for (int i = 0; i <(int) a.size() || i <(int) b.size(); i++)
	{
     
		if (i <(int) a.size())t += a[i];
		if (i < (int)b.size())t += b[i];
		c.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	while (t)
	{
     
		c.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	return c;
}
vector<int>mul(vector<int>a, LL b)
{
     
	vector<int>c;
	LL t = 0;
	for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++)
	{
     
		t += b * a[i];
		c.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	while (t)c.push_back(t % 10), t /= 10;
	return c;
}
int main()
{
     
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> w[i];
	for (int len = 3; len <= n; len++)
	{
     
		for (int l = 1, r = 0; l + len - 1 <= n; l++)
		{
     
			r = l + len - 1;
			for (int k = l + 1; k < r; k++)
			{
     
				auto val = mul(mul({
      w[l] }, w[k]), w[r]);
				val = add(add(val, f[l][k]), f[k][r]);
				if (f[l][r].empty() || cmp(val, f[l][r]))f[l][r] = val;
			}
		}
	}
	auto res = f[1][n];
	for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--)cout << res[i];
	puts("");
	return 0;
}

1072. 树的最长路径

给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。

现在请你找到树中的一条最长路径。

换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。

注意：路径中可以只包含一个点。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。

输出格式
输出一个整数，表示树的最长路径的长度。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai,bi≤n,
−105≤ci≤105
输入样例：

6
5 1 6
1 4 5
6 3 9
2 6 8
6 1 7

输出样例：
22

#include 
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = N << 1;
int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int f1[N], f2[N], res;
void add(int a, int b, int c)
{
     
	e[idx] = b;
	w[idx] = c;
	ne[idx] = h[a];
	h[a] = idx++;
}
void dfs(int u, int father)
{
     
	f1[u] = f2[u] = 0;
	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
	{
     
		int j = e[i];
		if (j == father)continue;
		dfs(j, u);
		if (f1[j] + w[i] >= f1[u])f2[u] = f1[u], f1[u] = f1[j] + w[i];
		else if (f1[j] + w[i] > f2[u])f2[u] = f1[j] + w[i];
	}
	res = max(res, f1[u] + f2[u]);
}
int main()
{
     
	memset(h, -1, sizeof h);
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)//n-1条边
	{
     
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a, b, c);
		add(b, a, c);
	}
	dfs(1, -1);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

1073. 树的中心

给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。

请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。

输出格式
输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai,bi≤n,
1≤ci≤105
输入样例：
5
2 1 1
3 2 1
4 3 1
5 1 1
输出样例：
2

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 1e9;
int d1[N], d2[N], up[N], p1[N], p2[N];
int h[N], ne[M], e[M], w[M], idx;
int n;
void add(int a, int b, int c)
{
     
	e[idx] = b;
	w[idx] = c;
	ne[idx] = h[a];
	h[a] = idx++;
}
int dfs_down(int u, int father)//返回u的最长向下路径
{
     
	d1[u] = d2[u] = -INF;
	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
	{
     
		int j = e[i];
		if (j == father)continue;
		int dist = dfs_down(j, u) + w[i];
		if (dist > d1[u])//更新最长和第二长
		{
     
			d2[u] = d1[u];
			d1[u] = dist;
			p2[u] = p1[u];
			p1[u] = j;
		}
		else if (dist > d2[u])
		{
     
			d2[u] = dist;
			p2[u] = j;
		}
	}
	if (d1[u] == -INF)d1[u] = d2[u] = 0;//叶节点
	return d1[u];
}
void dfs_up(int u, int father)//用父节点更新子节点向上最长路径
{
     
	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
	{
     
		int j = e[i];
		if (j == father)continue;
		if (p1[u] == j)up[j] = max(up[u], d2[u]) + w[i];
		else up[j] = max(up[u], d1[u]) + w[i];
		dfs_up(j, u);
	}
}
int main()
{
     
	cin >> n;
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
     
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a, b, c);
		add(b, a, c);
	}
	dfs_down(1, -1);
	dfs_up(1, -1);
	int res = INF;
	for (int i = 1; i <= n; i++)res = min(res, max(d1[i], up[i]));
	cout << res << endl;
	return 0;
}