微积分：求解多项式的极限问题

本文为《普林斯顿微积分读本》的读书笔记

$x\to a$ 时的有理函数的极限

• 即求
  $$li{m}_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}$$其中，$p$ 和 $q$ 都是多项式, 并且 $a$ 是一个有限的数

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• 你首先总是应该尝试用 $a$ 的值替换 $x$. 如果分母不为 0, 那么你一切顺利, 极限值就是你做替换后所得到的值. (利用了函数的连续性, $li{m}_{x\to a}f(x)=f(a)$)
• 另一方面, 如果你想要求
  $$li{m}_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$$那么代入 $x=2$ 后会得到 $0/0$，这被称作 不定式. 此时可以利用因式分解求极限：
  $$li{m}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=li{m}_{x\to 2}(x-1)=1$$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

• 如果代入后分母为 0 但分子不为 0，则有理函数的图像在你感兴趣的 $x$ 值上会有一条垂直渐近线. 有以下四种情况，只需要查看一下 $f(x)$ 在 $x=a$ 两边的符号就可以确定是哪种情况了：
  

$x\to a$ 时的平方根的极限

$$\begin{array}{rl}li{m}_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}& =li{m}_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}\times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ & =li{m}_{x\to 5}\frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}\\ & =li{m}_{x\to 5}\frac{x+5}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ & =\frac{5}{4}\end{array}$$

$x\to \infty$ 时的有理函数的极限

• 即求
  $$li{m}_{x\to \infty }\frac{p(x)}{q(x)}$$其中，$p$ 和 $q$ 都是多项式

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• 当 $x$ 很大时, 最高次数项比其他项增长得更快. 因此首项决定一切.
  • 如果 $p$ 的次数等于 $q$ 的次数, 则极限是有限的且非零;
  • 如果 $p$ 的次数大于 $q$ 的次数, 则极限是 $\infty$ 或 $-\infty$;
  • 如果 $p$ 的次数小于 $q$ 的次数, 则极限是 $0$.

$x\to \infty$ 时的多项式型函数的极限

• 依然关注分子和分母得最高次项
  

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$$\begin{array}{r}li{m}_{x\to \infty }\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\end{array}$$

• 对于上式，如果直接找分子的最高次项 $2x^3$ 的话，分子的极限就变成了 $0$，因此要先做处理
  $$\begin{array}{rl}li{m}_{x\to \infty }\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}& =li{m}_{x\to \infty }\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\times \frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}\\ & =li{m}_{x\to \infty }\frac{(4x^6-5x^5)-(2x^3{)}^2}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)}\\ & =li{m}_{x\to \infty }\frac{-5x^5}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)}\\ & =li{m}_{x\to \infty }\frac{-5x^5}{\sqrt[3]{\frac{27x^6+8x}{27x^6}}3x^2(\sqrt{\frac{4x^6-5x^5}{16x^6}}+\frac{2x^3}{2x^3})4x^3}\\ & =li{m}_{x\to \infty }\frac{-5x^5}{3x^2\cdot 4x^3}\\ & =-\frac{5}{12}\end{array}$$

$x\to -\infty$ 时的有理函数的极限

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注意 $x\to -\infty$ 时开根号要加上负号