根据经纬度计算两地之间的距离
根据经纬度计算两地之间的距离
- Haversine公式（半正矢公式）
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- 原理分析
- Python代码
- 向量法求两地距离
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- 原理分析
- Python代码
- 知识补充
- 球坐标系与直角坐标系的转换
地球赤道周长：40075.02千米 ，地球平均半径：6371.393千米，圆周率：3.141592653589793（以上是百度的结果）
Haversine公式（半正矢公式）
原理分析
直接套公式，简洁高效。
推导过程：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/202993882?utm_source=wechat_session
https://www.douban.com/note/766524321/
Python代码
import math
R = 6371.393
Pi = math.pi
# A地
weiduA, jingduA = 39.890115, 116.295794
# B地
weiduB, jingduB = 31.212544, 121.400053
a = (math.sin(math.radians(weiduA/2-weiduB/2)))**2
b = math.cos(weiduA*Pi/180) * math.cos(weiduB*Pi/180) * (math.sin((jingduA/2-jingduB/2)*Pi/180))**2
L = 2 * R * math.asin((a+b)**0.5)
print(L)
向量法求两地距离
原理分析
思路：以地心为原点，建立空间直角坐标系。将地球上任意两点的经纬度坐标转为直角坐标。然后用向量求出夹角余弦值，最后用角度求弧长。
误差：地球不是完美的球体。
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以地心为原点，建立空间直角坐标系：
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X轴为地心到（经度：0°、纬度：0°）的向量
Y轴为地心到（经度：90°、纬度：0°）的向量
Z轴为地心到（纬度：90°）的向量
| 经纬度与空间直角坐标系的对应关系 | 地球两地间距离的示意图 |
|---|---|
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由此可以得到由经纬度到空间直角坐标系的对应关系：
x = cos ( 纬 度 ) cos ( 经 度 ) ， y = cos ( 纬 度 ) sin ( 经 度 ) ， z = sin ( 纬 度 ) x = \cos(纬度)\cos(经度) \ ，y = \cos(纬度) \sin(经度) \ ，z = \sin(纬度) x=cos(纬度)cos(经度) ，y=cos(纬度)sin(经度) ，z=sin(纬度)
由两个点对应的向量求出向量夹角：
cos θ = V A ⋅ V B ∣ V A ∣ × ∣ V B ∣ θ = arccos ( V A ⋅ V B ∣ V A ∣ ⋅ ∣ V B ∣ ) \cos\theta = \frac{V_A \cdot V_B }{|V_A| \times |V_B|} \qquad \qquad \theta=\arccos(\frac{V_A \cdot V_B }{|V_A| \cdot |V_B|}) cosθ=∣VA∣×∣VB∣VA⋅VBθ=arccos(∣VA∣⋅∣VB∣VA⋅VB)
假设地球为理想球体：半径大约3959英里(6371.393千米) 。这个数字是地心到地球表面所有各点距离的平均值，平均半径=(赤道半径×2+极半径)/3。
则由半径和夹角可求弧长：
弧 长 l = π R θ 180 = α R 弧长l=\pi R \frac{\theta}{180} = \alpha R 弧长l=πR180θ=αR
其中 θ \theta θ是圆心角度数（角度制），R是半径，L是圆心角弧长， α \alpha α是圆心角度数（弧度制）。 α = π θ / 180 \alpha = \pi \theta/180 α=πθ/180
Python代码
import math
R = 6371.393
Pi = math.pi
# A地
weiduA, jingduA = 39.890115, 116.295794
# 转为空间直角坐标
xA = math.cos(math.radians(weiduA))*math.cos(math.radians(jingduA))
yA = math.cos(math.radians(weiduA))*math.sin(math.radians(jingduA))
zA = math.sin(math.radians(weiduA))
# B地
weiduB, jingduB = 31.212544, 121.400053
# 转为空间直角坐标
xB = math.cos(weiduB*Pi/180) * math.cos(jingduB*Pi/180)
yB = math.cos(weiduB*Pi/180) * math.sin(jingduB*Pi/180)
zB = math.sin(weiduB*Pi/180)
# 开始计算
cosalpha = (xA*xB+yA*yB+zA*zB)/((xA*xA+yA*yA+zA*zA)*(xB*xB+yB*yB+zB*zB))**0.5
alpha = math.acos(cosalpha)
L = alpha * R
print(L)
知识补充
- 在经线上纬度差1度对应的实际距离是111.2018千米
- 在赤道上经度差1度对应的实际距离是111.3195千米
- 在除赤道外的其他纬线上，经度差1度对应的实际距离是111.3195*cos纬度
从理论上讲，全部的经线长度都相等，无论沿那条经线到南北极的距离都相等。
所以从理论上算，一条经线的长度=平均半径乘以圆周率= π \pi πR=20016.321441933433千米，所以，纬度差1度对应的实际距离就是 π \pi πR/180=111.20178578851908千米。
赤道周长: 40075020m。
因为赤道被分为了360度，所以在赤道上经度相差一度为40075020/360=111319.5m=111.3195km；对于纬度不为0的，经度相差一度为111.3195 × \times ×cos纬度。
（另一种理论计算结果应该是111.2018 × \times ×cos纬度，因为平均半径R × \times ×cos纬度等于该纬度对应的小圆半径，1度所对应的弧长就是2 π \pi πR × \times ×cos纬度/360=111.2018 × \times ×cos纬度）
总结，对于日常的学习生活来说，相差一度取111km、圆周率用3.14就够了，不必太过较真。
球坐标系与直角坐标系的转换
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ ⟺ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos ( z r ) = arcsin ( x 2 + y 2 r ) = arctan ( x 2 + y 2 z ) ϕ = arccos ( x r sin θ ) = arcsin ( y r sin θ ) = arctan ( y x ) \begin{aligned} \begin{aligned} x & =r\sin\theta \cos\phi \\ y & =r\sin\theta \sin\phi \\ z & =r\cos\theta \end{aligned} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{aligned} r & =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta & =\arccos(\frac{z}{r})=\arcsin(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r})=\arctan(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}) \\ \phi & =\arccos(\frac{x}{r\sin\theta})=\arcsin(\frac{y}{r\sin\theta})=\arctan(\frac{y}{x}) \end{aligned} \end{aligned} xyz=rsinθcosϕ=rsinθsinϕ=rcosθ⟺rθϕ=x2+y2+z2=arccos(rz)=arcsin(rx2+y2)=arctan(zx2+y2)=arccos(rsinθx)=arcsin(rsinθy)=arctan(xy)
径 向 距 离 r ∈ [ 0 ， + ∞ ] ， 倾 角 ( 天 顶 角 ) θ ∈ [ 0 ， π ] ， 方 位 角 ϕ ∈ [ 0 ， 2 π ] 径向距离r \in [0，+\infty ]，\ 倾角(天顶角)\theta \in [0，\pi ]，\ 方位角\phi \in [0，2\pi] 径向距离r∈[0，+∞]， 倾角(天顶角)θ∈[0，π]， 方位角ϕ∈[0，2π]