数据结构 图论07 Floyd算法详解 通俗易懂
Floyd 算法详解
Floyd 算法是 所有点到所有点 的最短路径的算法，阅读前请想了解图的数据结构「邻接矩阵」
邻接矩阵
Floyd 算法是一个基于「贪心」、「动态规划」求一个图中 所有点到所有点 最短路径的算法，时间复杂度 O(n3)
1. 要点
以每个点为「中转站」，刷新所有「入度」和「出度」的距离。
Dijkstra 算法：每次从「未求出最短路径」的点中 取出 最短路径的点，并通过这个点为「中转站」刷新剩下「未求出最短路径」的距离。
Dijkstra 的算法在图中的效果像是：以起点为中心像是一个涟漪一样在水面上铺开。
Floyd 算法在图中的效果像是：一个一个多点的小涟漪，最后小涟漪铺满整个水面。
2.图解案例分析
案例：求所有点到所有点的最短距离
邻接矩阵图
int[][] graph = new int[][]{
{
0 , 2, ∞, 6}
{
2 , 0, 3, 2}
{
∞ , 3, 0, 2}
{
6 , 2, 2, 0}};
（重点）算法要点
distance[][]：用来储存每个点到其他点的最短距离path[][]：用来储存每个点到其他点最短距离的路径
要点：以每个点为「中转站」，刷新所有「入度」和「出度」的距离。
所以我们要：遍历每一个顶点 --> 遍历点的每一个入度 --> 遍历每一个点的出度，以这个点为「中转站」距离更短就刷新距离（比如 B 点为中转站 AB + BD < AD 就刷新 A 到 D 的距离）
2.1. 初始化：
初始化距离 distance 为图结构 graph，初始化路径 path 为初始图结构的路径如下
====distance====
0 2 -1 6
2 0 3 2
-1 3 0 2
6 2 2 0
====path====
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
2.2. 以 A 为「中转站」，刷新所有「入度」和「出度」的距离
A 的入度有 B 、D 2点，A 的出度也是 B、D 2点
BA + AD > BD
DA + AB > DB
所以没有更小的距离，不能「刷新距离」，distance[][] 和 path[][] 不刷新
2.3. （重点）以 B 为「中转站」，刷新所有的「入度」和「出度」的距离
B 的入度有 A、C、D；B 的出度有 A、C、D。（所以一共有 6 种组合）
AB + BC < AC （ 2 + 3 < 无穷大，这里的 -1 代表无穷大）
- 刷新距离：
- 刷新距离：将 AB + BC 的距离 5 赋值给 AC 距离 -1，即
distance[0][2] = distance[0][1] +distance[1][2] - 刷新最短路径：AC 的最短距离不再是直线 AC 的最短距离，引入「中转站」B 点，即
path[0][2] = 1
- 刷新距离：将 AB + BC 的距离 5 赋值给 AC 距离 -1，即
AB + BD < AD （ 2 + 2 < 6）
- 刷新距离：
- 刷新距离：将 AB + BD = 4 的值赋值给 AD，即
distance[0][3] = distance[0][1] +distance[1][3] - 刷新最短路径：AD的最短距离不再是直线 AD 的最短距离，引入「中转站」B 点，即
path[0][3] = 1
- 刷新距离：将 AB + BD = 4 的值赋值给 AD，即
CB + BA < CA（ 2 + 3 < 无穷大 同理第一个 AB + BC < AC ，刷新距离）
CB + BD > CD（3 + 2 > 2，不用刷新距离）
DB + BA < DA （2 + 2 < 6，同理第二个 AB + BD < AD， 刷新距离）
DB + BC < DC（2 + 3 < 2 ，不用刷新距离）
刷新后的 distance[][] 和 path[][] 入下所示
====distance====
0 2 5 4
2 0 3 2
5 3 0 2
4 2 2 0
====path====
0 1 1 1
0 1 2 3
1 1 2 3
1 1 2 3
2.4. 以 C 点为「中转站」，刷新所有「出度」和「入度」的距离
类似 3 步骤，这里不赘述
2.5. 以 D 点为「中转站」，刷新所有「出度」和「入度」的距离
类似 3 步骤，这里不赘述，结束算法
3. 代码
这里使用 -1 表无穷大，下面是 Java 代码和测试案例
package floyd;
/**
* @author Jarvan
* @version 1.0
* @create 2020/12/25 11:01
*/
public class Floyd {
/**
* 距离矩阵
*/
public static int[][] distance;
/**
* 路径矩阵
*/
public static int[][] path;
public static void floyd(int[][] graph) {
//初始化距离矩阵 distance
distance = graph;
//初始化路径
path = new int[graph.length][graph.length];
for (int i = 0; i < graph.length; i++) {
for (int j = 0; j < graph[i].length; j++) {
path[i][j] = j;
}
}
//开始 Floyd 算法
//每个点为中转
for (int i = 0; i < graph.length; i++) {
//所有入度
for (int j = 0; j < graph.length; j++) {
//所有出度
for (int k = 0; k < graph[j].length; k++) {
//以每个点为「中转」，刷新所有出度和入度之间的距离
//例如 AB + BC < AC 就刷新距离
if (graph[j][i] != -1 && graph[i][k] != -1) {
int newDistance = graph[j][i] + graph[i][k];
if (newDistance < graph[j][k] || graph[j][k] == -1) {
//刷新距离
graph[j][k] = newDistance;
//刷新路径
path[j][k] = i;
}
}
}
}
}
}
/**
* 测试
*/
public static void main(String[] args) {
char[] vertices = new char[]{
'A', 'B', 'C', 'D'};
int[][] graph = new int[][]{
{
0, 2, -1, 6}
, {
2, 0, 3, 2}
, {
-1, 3, 0, 2}
, {
6, 2, 2, 0}};
floyd(graph);
System.out.println("====distance====");
for (int[] ints : distance) {
for (int anInt : ints) {
System.out.print(anInt + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("====path====");
for (int[] ints : path) {
for (int anInt : ints) {
System.out.print(anInt + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
测试结果
====distance====
0 2 5 4
2 0 3 2
5 3 0 2
4 2 2 0
====path====
0 1 1 1
0 1 2 3
1 1 2 3
1 1 2 3