【课程笔记】人工智能导论——从四个学校东拼西凑的产物

本笔记参照西安电子科技大学、浙江工业大学、哈尔滨工业大学慕课以及北京交通大学课程PPT记录。

如有错误，敬请指正！

第三章

一阶谓词逻辑表示法

谓词

谓词包括一元谓词、二元谓词、多元谓词

• 个体是常量：一个或者一组指定的个体；
• 个体也可以是变量：没有制定的一个或者一组个体；
  • 变量具体赋值后，才能确定真假
• 个体可以是函数：一个个体到另一个个体的映射；
• 个体可以是谓词。

谓词公式：

单个谓词是谓词公式，称为原子谓词公式。

谓词公式的性质：

• 永真性

• 可满足性

• 等价性
• 永真蕴含

连接词

蕴含关系：P→Q，仅当Q为F时，表达式才为假

量词

• 全称量词
• 存在量词

全称量词和存在量词在同一命题中的次序会影响命题意思。

量词辖域：

量词辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括弧括起来的谓词公式。

约束变元与自由变元：辖域内与量词中间名的变元称为约束变元，不同名的变元称为自由变元。

一阶谓词逻辑知识表示法

步骤：

• 定义谓词及个体
• 变元赋值
• 用连接词连接各个谓词，形成谓词公式

特点：

• 优点
  • 自然性
  • 精确性
  • 严密性
  • 容易实现
• 缺点
  • 不能表示不确定的知识
  • 组合爆炸
  • 效率低

产生式规则表示法

确定性规则：

只要前提满足，结论一定正确

基本形式：IF P THEN Q、 或 P→Q、

不确定性规则：

基本形式：IF P THEN Q(置信度) 或 P→Q(置信度)

确定性事实性知识：

表示：(对象，属性，值) 或 (关系，对象1，对象2)

不确定性事实性知识：

表示：(对象，属性，值，置信度) 或 (关系，对象1，对象2，置信度)

产生式与蕴含式的区别：

• 除逻辑蕴含外，产生式还包括各种操作、规则、变换、算子、函数等。
• 蕴含式只能表示精确知识，产生式还可以表示不精确的知识。

巴科斯范式BNF(backus normal form)：

产生式系统

• 规则库：相应领域内知识的产生式集合
• 综合数据库：存放问题求解过程中各种当前信息的数据结构
• 控制系统：由一组程序组成，负责整个产生式系统的运行，实现对问题的求解

产生式系统就是不断对特征进行匹配，并将匹配结果加入特征中，知道匹配到相应结果。

语义网络表示法

两个弧连接的结点之间的关系默认为合取关系。用封闭的虚线作为析取界限，表示析取关系，并注以DIS。

如果合取关系嵌套在析取关系内部，也应用虚线围起来，并标以CONJ。

“非”的关系用NEG表示。

蕴涵关系用一对封闭虚线表示，前项标以ANTE，后项标以CONSE。

具有继承性的关系：

• ISA：表示层次关系
• AKO：表示集合关系
• ISPART：表示组成关系

分块语义网络

结点：物理实体、概念、性质和关系。

弧：该关系所涉及参数。

lFORM-OF、COMP-OF均为LISP函数，在语义网络中表示为：

分类学网络

推理网络

点：断言，取值为真、假，或附以确信度。

弧：规则。

结点格式：

规则格式：

推理方式——混合主动式：

过程：不断修改各结点的可信度（后验概率），直至顶层结点的可信度超过某一阈值为止。

• 正向推理：每当用户输入一个证据E及其可信度，系统就沿推理网络修改各结点的可信度。
• 主动式推理：在推理的任何时刻，用户都可以为系统提供信息（任何层次结点的信息）。
• 反向推理：正向推理结束后，如果已经确定了存在某种矿藏，则输出结果；否则进行反向推理，为断定某种矿藏的成矿寻找有关数据。

框架表示法

一种描述所论对象属性的数据结构。

框架结构

例：教师框架

框架表示法的特点

• 结构性：便于表达结构性知识，能够将知识的内部结构关系及知识间的联系表示出来
• 继承性：框架网络中，下层框架可以继承上层框架的槽值，也可以进行补充、修改

第四章

问题规模很大或很复杂，以至于不可能考虑其目标的全部可能性时，以解决寻优问题为目标的优化算法就转变为局部搜索。

局部搜索算法的终止条件一般有两种选择：

• 时间限制
• 搜索获得的当前目标不能再改善

状态空间表示法

状态空间法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。

主要包括：状态、算符、状态空间

状态

状态：表示问题求解过程中每一步问题状态的数据结构，一般用一组数据表示：
$$S_k=\{S{k}_0,S{K}_1,...\}$$
​ 式中每个元素为集合的分量，称为状态变量。

迷宫问题的状态表示：

八数码问题的状态表示：

算符

算符：当对一个问题状态使用某个可用操作时，它将引起该状态中某些分量值的变化，从而使问题从一个具体状态变为另一个具体状态。

迷宫问题的算符：

八数码难题的算符：

问题的状态空间

问题的状态空间：用来描述一个问题的全部状态以及这些状态之间的互相关系。

状态空间常用一个三元组表示：$(S,F,G)$。

• $S$：为问题的所有初始状态的集合；
• $F$：算符的集合；
• $G$：为目标状态的集合。

八数码的状态空间：

状态图示法：状态空间的图示形式，其中节点表示状态，边表示算符，求解过程就是求相应路径的问题（搜索）。

二阶梵塔难题

状态：

算符：

状态空间图：

爬山法

局部最大值可能出现在局部最大值、“平坦”局部最大值、山肩的平坦处。

爬山法是一种贪心算法，即从当前状态出发，向相邻状态进行试探，若发现某个相邻转台比当前状态更好，则转入相邻状态并放弃当前状态。

八皇后问题

八皇后问题若不做任何约束，则可能的排列数很大。若限制每个皇后只能再同一行或同一列移动，则排列数大大减少。

八皇后问题中，需要采用一个代价函数h。其代表再八皇后问题中，两两冲突对的个数h值不能增加，只能慢慢减少，以此作为标准判断是否从当前状态移动到相邻状态。

图搜索问题

图的概念

• OPEN表：记录带拓展节点
• CLOSED表：记录已拓展的节点
• 必须记住从目标返回的路径

图搜索流程：

搜索图：算法结束后，所生成的“足迹”为一个图$G$。

搜索树：由于每个节点都有一个指针指向父节点，这些指针指向的节点构成$G$的一个支撑树。

图搜索分类

对OPEN表中节点排序方式产生了不同的搜索策略，不同的搜索搜索策略效率不同。

• 无信息搜索（盲目式搜索）
• 宽度优先搜索
• 深度优先搜索
• 等代价搜索
• 有信息搜索（启发式搜索）
• A算法
• A*算法

盲目式搜索

按预定的控制策略进行搜索，在搜索过程中获得的中间信息不用来改进控制策略。

宽度优先搜索（BFS）：

BFS的性质：

• 属于图搜索
• 新拓展的节点排在OPEN表末端
• 当问题有解时，一定能找到解
• 方法与问题无关，具有通用性
• 效率较低

深度优先搜索（DFS）：

与BFS的不同在于，DFS将待拓展的节点放在OPEN表的开头。

节点深度：

• 起始节点深度为0。
• 任何其他节点的深度为其父辈节点深度加1。

DFS的特点：

• 搜索一般不能找到最优解。若解在该分支上，则能很快找到解；若解不在该分支上，则不能；若该分支为无穷深度，则永远不可能找到解。可以定义深度界限$d_m$来解决这个问题。
• 深度界限$d_m$ 不合理时，也有可能找不到解，如$d_m$定义过小的情况。将$d_m$更改为可变深度限制可以在一定程度上解决这个问题。

等代价搜索：

核心思想：利用边的代价，对OPEN表进行排序。若每条边的代价为1，则等代价搜索即为BFS。

小结：

• BFS按“层”进行搜索，先进入OPEN表的节点先被考察。
• DFS沿纵深方向进行搜索，后进入OPEN表的节点先被考察。
• 等代价搜索首先扩展最小代价节点。

启发式搜索

盲目式搜索的缺点：效率低，耗费过多的计算空间与时间。

盲目式搜索只知道$S_0\to n$，但是启发式搜索可以通过$S_0\to n$及$n\to S_g$两者来判断目标，向最有希望的方向搜索。

八数码难题：

$S_0$与$S_A$、$S_B$、$S_C$相比，$S_B$与$S_g$最相似，变为$S_g$移动次数最少，故先拓展$B$节点。

启发式信息：与具体问题求解过程有关的，并可知道搜索过程朝着最有希望的方向前进的控制信息。

启发式需要猜测：

• 从节点$n$开始，找到最优解的可能性？
• 从起始节点开始，经过节点$n$，到达目标节点的最佳路径的费用？

要解决这些问题，需要定义一个评价函数$f(n)$，用于估算节点“希望”程度。
$$f(n)=g(n)+h(n)$$
$g(n)$：从起始状态到当前状态$n$的代价。

$h(n)$：从当前状态到目标状态的估计代价（启发函数）。

A算法：

• 局部择优算法

  1. 把初始节点$S_0$放入OPEN表中，表示$f(S_0)$；
  2. 如果OPEN表为空，则问题无解，退出；
  3. 把OPEN表的第一个节点（记为节点$n$），放入CLOSED表中；
  4. 考察节点$n$是否为目标节点，若是，则得解，退出；
  5. 若节点$n$不可拓展，则转第2步；
  6. 拓展节点$n$，用评价函数$f(x)$计算每个子节点，并按评价值从小到大的顺序依次放入OPEN表的首部，并为每一个子节点都配置指向父节点的指针，转第2步。

• 有序搜索算法：选择OPEN表中具有最小$f$值的节点作为下一个要拓展的节点。

八数码难题难题的有序搜索搜索图：

有序搜索有一点儿类似DFS。

A*算法：

$g^{\ast }(n)$：从初始节点$S_0$到任意节点$n$的一条最佳路径的代价。

$h^{\ast }(n)$：从节点$n$到目标节点的一条最佳路径的代价。

A*算法有评价函数：
$$f(n)=g(n)+h(n)$$

• $g(n)$是对$g^{\ast }(n)$的估计，$g(n)>=g^{\ast }(n)$
• $h(n)$是对$h^{\ast }(n)$的估计，且满足对所有的$n$，$h(n)⩽h^{\ast }(n)$

八数码难题：

根据$h(x)$函数值，有：
$$0⩽h_1(n)⩽h_2(n)⩽h^{\ast }(n)$$
由于$h_2(n)$相较于$h_1(n)$更接近于$h^{\ast }(n)$，故方案二与方案一相比，方案二更好。

A*算法的搜索效率在很大程度上取决于$h(n)$，在满足$h(n)<=h^{\ast }(n)$的前提下，$h(n)$的值越大越好。

衡量一个搜索策略性能的准则：

• 问题有解是否能找到
• 搜索空间小
• 解最佳

与或图

• 与图：要解决A问题，需要解决B、C、D三个问题，从而求解。
• 或图：要解决A问题，需要解决B或C问题，从而求解。

• 弧线：父辈节点指向子节点的连线，表示操作符；
• 或节点：只要解决某个问题就可以解决其父辈问题的节点集合；
• 与节点：只有解决所有子问题，才能解决其父辈问题的节点集合。

当所有节点都是或节点时，这是变为状态空间图。

除起始节点外，所有节点只有一个父节点，此时为与或树。

与或图的结构：

• 初始节点对应于原始问题描述；
• 对应本院问题的节点叫做叶节点；
• 中间问题对应非终叶节点。

与或图有解的条件是：起使节点是可解的。

与或图BFS搜索：

1. 把原始问题作为初始节点$S_0$，并把它作为当前节点；
2. 应用分解或等价变换对当前节点进行拓展；
3. 为每个节点设置指向父节点的指针；
4. 选择适合的节点作为当前节点，反复执行第2步和第3步，在此期间要多次调用可解标志过程和不可解标志过程，直到初始节点被标为可解节点或不可解节点为止。

与或图DFS搜索：

4. 要判断从OPEN表取出来的节点深度。如果等于深度界限，认定它是不可解节点。

5. 拓展节点$n$把其子节点放入OPEN表的前端，即新产生的节点先拓展

在对与或图进行搜索时，需要关注节点是与节点还是或节点。

博弈与博弈树

博弈树

一种特殊的与或树。其节点为博弈的格局（棋局），相当于状态空间中的状态，反映了博弈的信息，并且与节点、或节点隔层交替出现。

与或节点交替出现的原因：我方走步时，我方只需选择一种好步骤执行，是或关系；而对方走步时，我方则需要考虑所有好步骤，是与关系。

在博弈树中，所有能使自己一方获胜的终局是本原问题，相应节点为可解节点，所有能使对方获胜的终局都是不可解节点。

极大极小搜索（Max-Min搜索）

基本思想：

• 目的是为博弈双方中的一方寻找一个最优行动方案；
• 要寻找最优方案，就要通过计算所有可能的方案进行比较；
• 方案的比较是根据问题的特征来定义一个估价函数，用来估算当前博弈树端节点的得分；
• 当计算出端节点的估值后，再推出父节点的得分：
  • 对或节点，选择子节点中的最大得分为父节点得分
  • 对与节点，选择子节点中的最小得分为父节点得分
• 若一个行动方案能获得较大得分，则它就是当前最好的行动方案。

搜索步骤：

1. 生成k-步博弈树

2. 评估棋局（博弈状态）

打分评估方法是从叶节点自下而上进行打分。

3. 回溯评估

4. 递归循环

$\alpha$-$\beta$剪枝搜索

在生成博弈树的过程中计算评估各节点的倒推值。

搜索策略：k-步博弈；深度优先；每次扩展一个节点；一边扩展一边评估。

基本概念：

• 对或节点，选择子节点中的最大得分为父节点得分的下界，称为$\alpha$值
• 对与节点，选择子节点中的最小得分为父节点得分的上界，称为$\beta$值

由于在最左侧分支中，已经求得$\alpha$=-1，又求得第二分支的第一次分支中得分为-1，那么第二分支的$\beta$=-1。即使第二分支中还有次分支的值比-1大或小，$\alpha$的也不会受到影响。故X处进行剪枝。

以上过程是根据Min节点上界与Max节点下界进行判断。

剪枝规则：

• 任何与节点$x$的$\beta$值如果不能升高其父节点的$\alpha$值，则对节点$x$以下的分支可停止搜索，并使$x$的倒推值为$\beta$
• 任何或节点$x$的$\alpha$值如果不能降低其父节点的$\beta$值，则对节点$x$以下的分支可停止搜索，并使$x$的倒推值为$\alpha$

第五章

合一及合一算法

文字：正、负原子公式，前面有否定连接词的谓词公式为负原子公式。

子句：仅使用析取连接词将原子公式连接后的公式。

空子句：不包含任何文字的子句。

• 空子句是永假的，不可满足的。

Horn子句：至多有一个正文字的子句，其中正文字称为Horn子句头，其他称为子句体。

置换：设$x_1,\dots ,x_n$是$n$个变量，且各不相同，$t_1,\dots ,t_n$是$n$个项（常量、变量、函数），$t_i\ne x_i$，则用$t_i$替换变量$x_i$操作形成的有限序列$x_1/t_1,\dots ,x_n/t_n$称为一个置换（运算）。

置换乘积（置换合成）：设$\theta$和$\lambda$是2两个置换，则先$\theta$后$\lambda$作用于公式或项，称为置换乘积，用${\theta }^o\lambda$表示。

合一：通过相关置换使不同的一阶谓词公式称为相同的过程。

合一置换：设有一组谓词公式$\{F_1,\dots ,F_k\}$和置换$\theta$，使得$F_1\theta =F_2\theta =\dots =F_k\theta$，则$\theta$称为合一置换，$F_1,\dots ,F_k$称为可合一的。

最一般合一置换（mgu）：如果$\sigma$和$\theta$都是公式组$\{F_1,\dots ,F_k\}$的合一置换，且有置换$\lambda$存在，使得$\theta ={\sigma }^o\lambda$，则称$\sigma$为公式组$\{F_1,\dots ,F_k\}$的最一般合一置换。

归结演绎推理

定理：$Q$为$P_1,P_2,\dots ,P_n$的逻辑结论，当且仅当$(P_1\wedge P_2\wedge \dots \wedge P_n)\wedge \neg Q$是不可满足的。

谓词公式生成子句集步骤：

鲁滨逊归结原理

子句集中子句之间是合取关系，只要有一个子句不可满足，则子句集就不可满足。

基本思想：检查子句集$S$中是否包含空子句，若包含，则$S$不可满足。若不包含，在$S$中选择合适的子句进行归结，一旦归结出空子句，就说明$S$是不可满足的。

定义3.1（归结）：设$C_1$与$C_2$是子句集中的任意两个子句，如果$C_1$中的文字$L_1$与$C_2$中的文字$L_2$互补，那么从$C_1$和$C_2$中分别消去$L_1$和$L_2$，并将两个子句余下的的部分析取，构成新的子句$C_{12}$。

定理3.2：归结式$C_{12}$是其亲本子句$C_1$与$C_2$的逻辑结论。如果$C_1$与$C_2$为真，则$C_{12}$为真。

推论1：设$C_1$与$C_2$是子句集$S$中的两个子句，$C_{12}$是它们的归结式，若用$C_{12}$代替$C_1$与$C_2$后得到新子句集$S_1$，则由$S_1$不满足性可推出原子句集$S$的不可满足行，即：
$$S_1的不可满足性\Rightarrow S的不可满足性$$
推论2：设$C_1$与$C_2$是子句集$S$中的两个子句，$C_{12}$是它们的归结式，若$C_{12}$新子句集加入原子句集$S$得到新子句集$S_2$，则$S_1$与$S_2$在不满足性的意义上是等价的，即：
$$S_2的不可满足性⟺S的不可满足性$$
谓词逻辑中的归结原理（上一小节有讲）：

定义3.2：设$C_1$与$C_2$是两个没有相同变元的子句，$L_1$和$L_2$分别是$C_1$和$C_2$中的文字，若$\sigma$是$L_1$和$\neg L_2$的最一般合一，则称$C_{12}=(C_1\sigma -\{L_1\sigma \}\vee (C_2\sigma -\{L_2\sigma \}))$为$C_1$和$C_2$的二元归结式。

归结反演

证明步骤：

1. 将已知前提表示为谓词公式$F$。
2. 将待证明的结论表示为谓词公式$Q$，并否定得到$\neg Q$。
3. 把谓词公式集$\{F,\neg Q\}$化为子句集$S$。
4. 应用归结原理把子句集$S$中的子句进行归结，并把每次归结得到的归结式并入到$S$中。如此反复，若出现空子句，则停止归结，$Q$为真得证；未出现空子句，则继续。

正向和反向推理方法

正向演绎系统

一个与或图表示的子句集就对应于在图的文字结点上结束的解图集。

将相应规则转换为与或图：

正向演绎系统中，所推出的目标即叶子节点之间的关系为析取，与归结反演系统对偶。

逆向演绎系统

与或图的描述：