第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛 二进制-线段树

B. 二进制-线段树

二进制

题目链接：2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛-B题

描述

你是一个算法爱好者，在努力学习计算机知识。你知道，计算机最优美的地方在于二进制，这一点你在状压dp里面深有体会，当然二进制用在xor,and,or时也非常巧妙，更不用说nim游戏都能跟xor扯上关系了，而今天你又遇到了一道二进制的题目，对于爱思考的你，决定一直要把这道二进制题给切掉。

你遇到了很多十进制的数，对于这些数，它们都管理着它们对应的分层，比如数字6，它的二进制是110，则它管理着4(100),2(10)，两个分段，当数字6在$[2,4]$区间上增加3时，则代表二进制(100)和(10)两层在$[2,4]$区间增加3。

本道题有两种操作，读入一个$opt$

$opt$为1时 :读入一个数$a_i$，一个区间$l_i,r_i$和一个增加的值$k_i$，表示在这个数管理的分层中的每一个区间增加$k_i$值；
$opt$为2时:读入一个数$a_i$，一个区间$l_i,r_i$，表示询问这个数管理的分层中每一个区间的值的总和。

输入

第一行两个整数$n,q$，表示$n$表示区间长度($1\le l_i\le r_i\le n\le 100000$)，$q$表示有$q$($1\le q\le 100000$)次操作。

数据保证($1\le a_i\le 1024$)，$k_i$在$int$范围内

后面$q$行，每行首先一个数$opt$表示进行的操作

$opt=1$时后接整数$a_i$表示管理分层，$l_i,r_i$表示区间，$k_i$表示增加的值

$opt=2$时后接整数$a_i$表示管理分层，$l_i,r_i$表示区间

输出

对于每个第二个操作，输出一行表示询问的答案。

输入样例

5 3
1 3 1 5 2
2 1 1 2
2 3 1 2

输出样例

4
8

思路

比赛的时候，糊出了一个空间复杂度$1024\ast 1e5\ast 2$的线段树，以为是每个$a[i]$都管理着不同的层，然后就一直不敢写，因为在分析复杂度的时候就已经不可行了。

但是最后仔细看题发现，是每个数虽然管理了很多分层，对于这些分层，大家都可以对其进行管理，这时候其实只需要考虑每个数管理着哪些分层，再每次操作都操作它管理的对应分层即可。

对于每个$a[i]$所管理的分层，我们考虑$a[i]$转换成二进制数之后1所在的位置，将其一一对应到一个分层，例如1管理着下标为1的分层，2管理着下标为2的分层，3管理着下标位1和2的分层，5管理着下标为1和3的分层。

由于1024对应的二进制位在第11位，因此线段树的层数开到12即可，具体的操作的时候就一个比较裸的线段树写法，套个板子就行。

找出二进制数的位置

上述寻找二进制数中1的位置的具体实现

vector<int> vv;
int k = 1;
while(a){
     
    if(a & 1)   //当前数为基数，则最低位一定是1
        vv.push_back(k);  //当前这个1的位置编号为k
    a >>= 1;k++;
}

AC代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define tie cin.tie(0),cout.tie(0)
typedef long long ll;
const ll INF = 0x7fffffff;
const int maxn = 100005;
ll q, m;
struct node{
     
    ll tree[maxn*4];
    ll lazy[maxn*4];
}num[14];
void push_down(int p, int n, int l, int r){
     
    int mid = (l+r) >> 1;
    num[n].tree[p*2] += (mid - l + 1) * num[n].lazy[p];
    num[n].tree[p*2+1] += (r - mid) * num[n].lazy[p];

    num[n].lazy[p*2] += num[n].lazy[p];
    num[n].lazy[p*2+1] += num[n].lazy[p];
    num[n].lazy[p] = 0;
}
void update(int n, int p, int l, int r, int tl, int tr,ll v){
     
    if(tl <= l && r <= tr){
     
        num[n].lazy[p] += v;
        num[n].tree[p] += (r - l + 1) * v;
        return ;
    }
    if(num[n].lazy[p]){
     
        push_down(p, n, l, r);
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    if(tl <= mid) update(n, p*2, l, mid, tl, tr, v);
    if(tr > mid) update(n, p*2+1, mid+1, r, tl, tr, v);
    num[n].tree[p] = num[n].tree[p*2] + num[n].tree[p*2+1];
}
ll query(int n, ll p, ll l, ll r, ll tl, ll tr){
     
    if (tl <= l && r <= tr){
     
        return num[n].tree[p];
    }
    if(num[n].lazy[p])
        push_down(p, n, l, r);
    ll mid = (l+r) >> 1;
    ll sum = 0;
    if(tl <= mid)
        sum += query(n, p*2, l, mid, tl, tr);
    if(tr > mid)
        sum += query(n, p*2+1, mid+1, r, tl, tr);
    return sum;
}
int main() {
     
    ios;
    tie;
    scanf("%lld %lld", &m, &q);
    while(q--){
     
        int opt;
        int a, l, r;
        scanf("%d %d %d %d", &opt, &a, &l, &r);
        vector<int> vv;
        int k = 1;
        while(a){
     
            if(a & 1)
                vv.push_back(k);
            a >>= 1;k++;
        }
        int len = vv.size();
        if(opt == 1){
     
            int v; scanf("%d", &v);
            for(int i = 0; i < len; i++){
     
                update(vv[i], 1, 1, m, l, r, v);  //更新它管理的所有层
            }
        }
        if(opt == 2){
     
            ll ans = 0;
            for(int i = 0; i < len; i++){
     
                ans += query(vv[i], 1, 1, m, l, r);
            }
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}