- 前言
- 复杂度
- 分析方法
- 大 O 复杂度表示法
- 例子-评估累加和的各种算法执行效率
- 算法 1（for 循环）：
- 算法 2（嵌套 for 循环）：
- 大 O 表示
- 例子-评估累加和的各种算法执行效率
- 时间复杂度分析
- 关注执行最多的一段代码
- 加法规则
- 乘法规则
- 大 O 复杂度表示法
- 常见时间复杂度
- 常量阶 O(1)
- 对数阶 O(logn)、O(nlogn)
- 多参数阶 O(m+n)、O(m*n)
- 空间复杂度分析
- 小结
前言
本笔记主要记录如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗。
必须学会分析复杂度分析。
李柱明博客：https://www.cnblogs.com/lizhuming/p/15487271.html
复杂度
复杂度分为：
-
时间复杂度。关联到执行效率。
- 时间复杂度的全称是 渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。
-
空间复杂度。关联到资源消耗。
- 空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
分析方法
大 O 复杂度表示法
先说结论：
- 大 O 复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。
- 忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。
- 多、加法和乘法规则。
例子-评估累加和的各种算法执行效率
算法 1（for 循环）：
int cal(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i)
{
sum = sum + i;
}
return sum;
}
-
从 CPU 角度看：
- 重复类似的操作：读数据-运算-写数据。
- 假设每行代码执行事件都为 unit_time。（粗略估计）
- 代码中执行的时间为：
T(n) = (2+3n)*unit_time。
-
结论：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
算法 2（嵌套 for 循环）：
int cal(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i)
{
j = 1;
for (; j <= n; ++j)
{
sum = sum + i * j;
}
}
}
- 代码中执行时间为：
T(n) = (3+3n+3n²)*unit_time=3(n²+n+1)*unit_time。 - 所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码执行的次数成正比。
大 O 表示
T(n) = O(f(n))
-
上面算法 1 中的大 O 表示法为：
T(n) = O(2+3n)。 -
上面算法 2 中的大 O 表示法为：
T(n) = O(3(n²+n+1))。 -
大 O 表示法不是表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。
- 即是时间复杂度。
当 n 很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。
只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，可记为：
T(n) = O(n)；T(n) = O(n²)。
时间复杂度分析
当了解了大 O 表示法后，就可以用来分析时间复杂度了。
三个实用的方法：
- 只关注循环执行次数最多的一段代码。（多）
- 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。（大）
- 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。（嵌套：积）
关注执行最多的一段代码
以上面算法 1 为例：
-
前面两行代码为常量级别，忽略。
-
3n中的系数也可忽略。 -
结论：时间复杂度为
O(n)
算法 2 的时间复杂度就是 O(n²)
加法规则
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。
- 公式：
T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。
若上面算法 1 和算法 2 出现在同一个代码段中是，其时间复杂度之和为 O(n)+O(n²)。
总的时间复杂度就是取最大量级： O(n²)。
乘法规则
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。
- 公式：
T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n))。
例子：
- 时间复杂度：
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。
int func(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i)
{
sum = sum + i;
}
return sum;
}
int cal(int n)
{
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i)
{
ret = ret + func(i);
}
}
常见时间复杂度
常见时间复杂度量级如图：
这些复杂度量级可分为：
-
多项式量级：
- 常量阶：
O(1) - 对数阶：
O(logn) - 线性阶：
O(n) - 线性对数阶：
O(nlogn) - k 次方阶：
O(nk)（注意：这里的 k 为 k 次方)
- 常量阶：
-
非多项式量级
- O(2n);（注意：这里的 n 为 n 次方)
O(n!)。- 说明：当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。
常量阶 O(1)
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。
大牛总结：（常量级记作 O(1)）
- 只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作
O(1)。 - 或者说， 一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是
Ο(1)。
对数阶 O(logn)、O(nlogn)
i=1;
while (i <= n)
{
i = i * 2;
}
时间复杂度分析过程：
-
多：第 4 行代码执行次数最多。那就算出第四行执行的次数。
-
-
得 x = log2n 即时间复杂度为 O(log2n)。也就是
O(logn)。 -
不管底数为何值，都把这类对数阶的时间复杂度记为
O(logn)。理由：- log3n = log32 * log2n。对应时间复杂度为：O(log3n) = O(C * log2n)。
- 按前面学的系数可忽略：O(log3n) = O(log2n)。
- 既然不同底数都可以转化，那就直接使用
O(logn)来标记对数阶。
而对于 O(nlogn) 就是一段时间复杂度为 O(logn) 的代码段被执行了 n 次。
多参数阶 O(m+n)、O(m*n)
分析代码的时间复杂度由两个以上数据的规模来决定。
以下以两个数据规模决定为基础。
int cal(int m, int n)
{
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i)
{
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j)
{
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
- 其时间复杂度为：
O(m+n) - 对于加法规则（变了）：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。
- 对于乘法规则（不变）：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
空间复杂度分析
空间复杂度。关联到资源消耗。
- 空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
使用大 O 表示法，和时间复杂度一样，只是分析的数据规模 n 由时间度量改为空间度量。
小结
复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系。
通常越高阶复杂度的算法，执行效率越低。
常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
