剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对

剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对
2014-01-30 23:19

题目描述：

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

输入：

每个测试案例包括两行：

第一行包含一个整数n，表示数组中的元素个数。其中1 <= n <= 10^5。

第二行包含n个整数，每个数组均为int类型。

输出：

对应每个测试案例，输出一个整数，表示数组中的逆序对的总数。

样例输入：

4

7 5 6 4

样例输出：

5

题意分析：
　　这一题的任务是求出一个数组的逆序数，也就是只通过交换相邻元素的方式，将这个数组排成升序的最少交换次数。定义可参见百度百科：逆序数。
　　按照冒泡或者选择排序的方法，能很直观地求出逆序数，因为执行的操作就是交换相邻元素。但问题也很明显，效率太低无法满足时间要求。
　　快速排序、堆排序、归并排序应该都能对应地找出算逆序数的方法，而且时间上有优势。三者中归并排序的写法和分析方法明显比另外两者要简单，于是我选择了归并排序。
　　归并排序的思路很简单：
　　　　1. 排序前一半
　　　　2. 排序后一半
　　　　3. 合并两个已排序的子数组
　　对于a[i]~a[j]和a[j+1]~a[k]这么两段儿，如果两段都已经排好了序，且存在左半段的某个a[x]>右半段的某个a[y]的话，那么a[x]、a[x+ 1]、...、a[j]必然都大于a[y]。
　　按上面那种算法，一次就多了j-x+1个逆序数。这么一来，就不用一个一个地算了。要是真一个一个地算逆序数，时间复杂度必然是O(n^2)了，因为逆序数本身就是O(n^2)数量级的。
　　最后，别忘了用64位整数来存结果，因为10^5个数，逆序数最多可以是5*10^左右，超出了int的范围。
　　时间复杂度O(n * log(n))，空间复杂度O(n)。

 1 // 687950    zhuli19901106    1348    Accepted    点击此处查看所有case的执行结果    1800KB    1093B    100MS

 2 // 201401302316

 3 #include <cstdio>

 4 using namespace std;

 5 

 6 const int MAXN = 100005;

 7 int a[MAXN];

 8 int n;

 9 long long int res;

10 int tmp[MAXN];

11 

12 void merge_sort_recursive(int a[], int ll, int rr)

13 {

14     if (ll >= rr) {

15         return;

16     }

17     int mm;

18     mm = (ll + rr) / 2;

19     merge_sort_recursive(a, ll, mm);

20     merge_sort_recursive(a, mm + 1, rr);

21 

22     int i, j, k;

23 

24     i = ll;

25     j = mm + 1;

26     k = ll;

27     while (true) {

28         if (i <= mm) {

29             if (j <= rr) {

30                 if (a[i] <= a[j]) {

31                     tmp[k++] = a[i++];

32                 } else {

33                     tmp[k++] = a[j++];

34                     res += mm - i + 1;

35                 }

36             } else {

37                 tmp[k++] = a[i++];

38             }

39         } else {

40             if (j <= rr) {

41                 tmp[k++] = a[j++];

42             } else {

43                 break;

44             }

45         }

46     }

47     for (i = ll; i <= rr; ++i) {

48         a[i] = tmp[i];

49     }

50 }

51 

52 int main() 

53 {

54     int i;

55 

56     while (scanf("%d", &n) == 1) {

57         for (i = 0; i < n; ++i) {

58             scanf("%d", &a[i]);

59         }

60         res = 0;

61         merge_sort_recursive(a, 0, n - 1);

62         printf("%lld\n", res);

63     }

64 

65     return 0;

66 }