矩阵分析L3内积空间

一、内积空间的概念

1.概念

两个向量的点乘操作应该算内积空间

2.性质

3.类型

• Rn上的标准内积

因为要对应位置相乘，所以后一个转置了一下

• Rn×n上的内积

同样也是对应位置相乘

• Rm×n上的内积

转置后再相乘，因为对应

二、向量的长度及夹角

1.向量长度

2.内积运算里的不等式

• 柯西—许瓦兹不等式
  

• 长度不等式
  

3.度量矩阵

4.例题（度量矩阵）

三、正交组

1. 概念

正交化：

如下：

2.例题(内积空间求正交基)

3.标准正交基

标准化的正交基具有一定的特殊性

两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵

四、子空间的正交性

1.概念

• 正交空间
  
• 正交补
  

2.例题（正交空间）

w中任何一个向量都可以有这两个基表示出来，所以只需要求一个基和W的两个基正交，这个基就是与W正交的内积空间的基向量。

3.例题（非零子空间）

2小问有点莫名其妙呢，正交基互相正交，各自代表的空间不就是正交空间了吗

五、正交变换

1.概念

要证明一个变换是正交变换，直接证明|Ta|=|a|即可。

2.性质

六、最小二乘法

1.概念

求法为：

2.例题（求最小二乘解）

七、酉空间（或称复内积空间）

1.概念

2.酉空间的内积

3.酉空间性质

八、正规矩阵

1.可对角化的充要条件

2.例题（由正规矩阵求酉矩阵）

这里和求正交标准基一样了

3.例题（求正交变换T）