hihocoder 1164 随机斐波那契

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#1164 : 随机斐波那契

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描述

大家对斐波那契数列想必都很熟悉:

a₀ = 1, a₁ = 1, a_i = a_i-1 + a_i-2,(i > 1)。

现在考虑如下生成的斐波那契数列:

a₀ = 1, a_i = a_j + a_k, i > 0, j, k从[0, i-1]的整数中随机选出（j和k独立）。

现在给定n，要求求出E(a_n)，即各种可能的a数列中a_n的期望值。

输入

一行一个整数n，表示第n项。(1<=n<=500)

输出

一行一个实数，表示答案。你的输出和答案的绝对或者相对误差小于10^-6时被视为正确答案。

样例解释

共存在3种可能的数列

1,2,2  1/4

1,2,3  1/2

1,2,4  1/4

所以期望为3。

 

样例输入

2

样例输出

3.000000

分析：这道题要特别注意j和k独立这个条件，在这个条件下我们可以得到E(an)（以下简写成E[n]）的一个表达式
 　　　　　　　　E[n] = 2*S[n-1] / n， (1)
其中S[n]定义成
　　　　　　　　 S[n] = E[0] + E[1] + E[2] + .... + E[n]
易见
　　　　　　　　　E[n] = S[n] - S[n-1]　　 (2)
下面我将从上面的两个式子出发推出E[n]关于n的表达式。
(1)式即
　　　　　　　　　n * E[n] = 2 * S[n-1]　　　 (3)　 
从而亦有
　　　　 (n+1) * E[n+1] = 2 * S[n]　　 (4)
(4) - (3)得
　　　　 (n+1) * E[n+1] - n * E[n] = 2 * E[n]
移项
　　　　　　　　　(n+1) * E[n+1] = (n+2) * E[n]
亦即
　　　　 E[n+1] / E[n] = (n+2) / (n+1)　　　　(5)
 进而得到
　　　　　　　　　E[n] = (n+1) E[0] = n+1　　　　　　 (6)
　
P.S. hihocoder上给的题解用归纳法证明了这个结论。