Hdu 1729 Nim博弈

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之前没做过这题，因为学弟问到我如果来求该题的sg值，才做了这题。

首先， 是多堆Nim博弈毫无疑问，这题是往一个有固定容量的箱子里放石子，和从一堆石子里面拿出石子是一个道理。

和传统的Nim稍有不同的地方是：The number mustn’t be great than the square of the number of stones before the player adds the stones. 

也就是说，往箱子里放石子的数量应该在1... c^2，当然也应该使放完石子之后箱子里总的石子个数小于S（箱子的容量）。这里，很自然的会想到比较c^2和s-c的大小，s-c是箱子此时剩余的容量，而c^2是可以放的最大的容量(前提是c^2 <= s-c).

所以，如果 c^2 >= s-c ,也就是说此时可以往箱子里放 1...s-c个石子，也就是一个单堆的Nim博弈，所以sg(x) = x。

但是如果 c^2 < s-c， 那么只需要找一个临界的情况，就是 t^2 < s - t 而且 (t+1)^2 >= s - (t+1).这里t是指箱子里当前石子的个数，这里的t是距离终态s最近的一个必败点，终态为s，是因为如果箱子里已经有了s个石子，那么就不可以再往箱子里放石子，所以这个状态是必败态，即sg(s) = 0. 那为什么t状态是必败点呢？ 因为从 t+1, t+2, t+3...s-1都可以直接转移到s态，理由就是 (t+1)^2 >= s - (t+1). （能转移到必败点的状态都是必胜态）。所以t状态是距离终态s最近的必败点，也就是说sg(t) = 0。如果， c = t，那么直接返回0， 如果 c > t，那么直接返回sg值，sg(c) = s - c. （因为 sg(s)=0, sg(s-1) = s-1....别忘了单堆Nim的sg(x) = x)。而如果 c < t，那么只需要递归来求sg(c)。道理和上面一样。

附上代码：

 1 /*************************************************************************

 2     > File Name: 1729.cpp

 3     > Author: Stomach_ache

 4     > Mail: [email protected] 

 5     > Created Time: 2014年04月25日 星期五 11时25分34秒

 6     > Propose: 

 7  ************************************************************************/

 8 

 9 #include <cmath>

10 #include <string>

11 #include <cstdio>

12 #include <fstream>

13 #include <cstring>

14 #include <iostream>

15 #include <algorithm>

16 using namespace std;

17 

18 typedef long long LL;

19 

20 LL

21 get_sg(int s, int c) {

22         int t = int(sqrt(s+0.0));

23         while (t*t+t >= s)

24                 t--;

25         // t+1, t+2 ... s-1 都是必胜态，因为s是必败态，而他们都可以转移到s

26         if (c > t) return s - c;

27         if (c == t) return 0;

28         return get_sg(t, c);

29 }

30 

31 int

32 main(void) {

33         int n, cnt = 1;

34         while (~scanf("%d", &n) && n) {

35                 LL ans = 0;

36                 for (int i = 0; i < n; i++) {

37                         int s, c;

38                         scanf("%d %d", &s, &c);

39                         if (c == 0) continue;

40                         if ((LL)c * c >= s - c) {

41                                 ans ^= (s - c);

42                         } else {

43                                 ans ^= get_sg(s, c);

44                         }

45                 }

46 

47                 printf("Case %d:\n", cnt++);

48                 if (ans) {

49                         puts("Yes");

50                 } else {

51                         puts("No");

52                 }

53         }

54 

55         return 0;

56 }