特征值（特征向量）与相似对角化
什么是特征值/特征向量？
方阵的一个属性，描述方阵的“特征”
A u ⃗ = λ u ⃗ A\vec{u} = \lambda\vec{u} Au=λu
不改变方向，只伸缩
λ \lambda λ 称为矩阵A的特征值（eigenvalue）
u ⃗ \vec{u} u称为A对应于 λ \lambda λ的特征向量（eigenvector）
- 求解：特征方程
特征向量不考虑零向量（平凡解） → u ⃗ ≠ 0 \rightarrow \vec{u} \ne 0 →u=0
( A − λ I ) u ⃗ = 0 (A - \lambda I)\vec{u} = 0 (A−λI)u=0
有非零解 → \rightarrow → 特征方程： d e t ( A − λ I ) = 0 det(A-\lambda I) = 0 det(A−λI)=0
对每一个 λ \lambda λ 的特征向量不唯一
λ \lambda λ 对应的特征向量 u ⃗ , k u ⃗ . . . \vec{u}, k\vec{u} ... u,ku... 组成了 A − λ I A-\lambda I A−λI 零空间（去除零向量）
λ \lambda λ 对应的特征空间： E λ = { O } ∪ { λ 的 特 征 向 量 } E_\lambda = \{O\} \cup \{\lambda的特征向量\} Eλ={ O}∪{ λ的特征向量}
特征方程是一个关于 λ \lambda λ的n次方程
简单特征值：n个不同的实数
复杂特征值：可以规避掉
1）多重特征值：同根（重数）
2）复数特征值：实数范围无解，复数根
特征值和特征向量的性质
- 与矩阵的逆关系：
0是A的特征值 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A u ⃗ = 0 A\vec{u} = 0 Au=0 有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A不可逆
- 特殊矩阵
对角矩阵D的特征值就是对角线上的元素
本质： A ∼ d i a g ( λ 1 , λ 2 . . . λ n ) A \sim diag(\lambda_1, \lambda_2 ... \lambda_n) A∼diag(λ1,λ2...λn)
推论： A m A^m Am的特征值是 λ m \lambda^m λm, A − 1 A^{-1} A−1的特征值是 λ − 1 \lambda^{-1} λ−1（数学归纳法
直观理解特征值和特征向量
- 投影变换：
首先是一个线性变换（如果变换对应一个矩阵，这个变换是线性变换），投影变换是线性变换：
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u), c ∈ \in ∈ R
由几何含义可得到两个特征值：垂直：0, 母线上：1
- 翻转变换：
特征值：1（沿着翻转对称轴）， -1（垂直翻转对称轴）
性质：不同特征向量对应的特征值线性无关（反证法
不简单的特征值
- 旋转变换：
几何角度找不到特征向量（变换后没有方向不变的）
特征值： i, -i
- 单位矩阵：
所有向量变换后都不变方向（都是自己）
特征值：1（n重）
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多重特征值的特征空间可能是高纬空间
n重特征值（代数重数）：特征空间维度（几何重数） ≤ \le ≤n (最多有n个线性无关的特征向量)
即：几何重数 ≤ \le ≤ 代数重数
实践 numpy 中的求特征值和特征向量
主要实现：求解 λ \lambda λ的n次方程
mian_eigen
矩阵相似型
引子：相似三角形 → \rightarrow → 不同观察视角观察相同的内容
如果A， B满足： A = P − 1 B P A = P^{-1}BP A=P−1BP，则称A和B相似，记为: A ∼ B A \sim B A∼B
P是一个坐标系，则A变换是在P坐标系下观察的B变换
B变换是在标准坐标系下，而A变换是在P坐标系下
- 对于 B = P A P − 1 B = PAP^{-1} B=PAP−1：
B是标准坐标系下的一个变换，其在P坐标系中对应的变换为A
- 证明：？？？
A [ x ⃗ ] P = P − 1 B P [ x ⃗ ] P A[\vec{x}]_P = P^{-1}BP[\vec{x}]_P A[x]P=P−1BP[x]P
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【解释】：若 A ∼ B A \sim B A∼B
[ x ⃗ ] P [\vec{x}]_P [x]P 在 P坐标系下进行A变换得到的结果 和 先转换为标准坐标系（ [ x ⃗ ] ε [\vec{x}]_\varepsilon [x]ε），再在标准坐标系下进行B变换，最后将结果转回P矩阵 相同
- 性质：
A和B的特征方程相同 → \rightarrow → 特征值相同
d e t ( A − λ I ) = d e t ( P − 1 B P − λ I ) = . . . = d e t ( B − λ I ) det(A - \lambda I) = det(P^{-1}BP - \lambda I) =\ ...\ = det(B - \lambda I) det(A−λI)=det(P−1BP−λI)= ... =det(B−λI)
相似对角化
最好的观察角度： A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1 (减少冗余)
D：每个维度自己伸缩的变换
D = ( λ 1 0 . . . 0 0 λ 2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . λ n ) , P = ( ∣ ∣ ∣ u ⃗ 1 u ⃗ 2 . . . u ⃗ n ∣ ∣ ∣ ) D = \left( \begin{matrix} \lambda_1& 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ...\\0&0&...&\lambda_n \end{matrix} \right), P = \left( \begin{matrix} | & | & &| \\ \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & ... & \vec{u}_n \\ | & | & & | \end{matrix} \right) D=⎝⎜⎜⎛λ10...00λ2...0............00...λn⎠⎟⎟⎞,P=⎝⎛∣u1∣∣u2∣...∣un∣⎠⎞
- 相似对角化 条件：A有n个线性无关的特征向量，即：P (特征向量矩阵) 可逆
A含有n个不同的特征值，或者特征值中的k重特征值对应有k个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化
实现矩阵对角化
main_diag
矩阵对角化的应用
- 计算幂： A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1
A n = P D n P − 1 A^n = PD^nP^{-1} An=PDnP−1
- 矩阵幂的作用？
动态系统： u ⃗ k = A k u ⃗ 0 \vec{u}_k = A^k \vec{u}_0 uk=Aku0
A：一次变化
- 随机过程：概率变化过程
u ⃗ k = P D n P − 1 u ⃗ 0 \vec{u}_k = PD^nP^{-1}\vec{u}_0 uk=PDnP−1u0
：特征值反应系统各个分量的变化速率