线性代数的本质

以下讨论时：(如果之后有特殊情况会进行表明)

1. 方程组都为线性方程组
2. 且矩阵默认都为方阵 — 之后内容中，矩阵的每列都表示变换后基向量的坐标，设：矩阵有$a$列说明变换前空间是$a$维，而变换后的基向量坐标仍然需要在原始十字坐标系中表示(即变换后基向量用$a$维表示)，所以行与列应该相同
3. 当然矩阵也有不为方阵(出现时会表明) — 这意味着变换经过变换后改变了维度，在第五章点积中体现的较多

一：矩阵与线性变换 - 矩阵：对空间的一种特定的变换

1. 知变换后基向量$i，j$的坐标，利用变换前后的线性组合不变，得到变换后的$v$的坐标

• 运用一些变换，将$i,j,v$进行运动：
  

由图中根据变换后的三个向量的关系，可以得到：

如果向量v原来的坐标为(-1,2)
变换前向量 v 与 基向量 i 与 j 的线性组合为 $v=-1i+2j$ （也就是将v的坐标看成线性组合，这有助于之后的理解）
那么变换后的 v 也是变换后的 i 和 j 的同样的线性组合 $T(v)=-1T(i)+2T(j)$ (由上图关系可得)

所以知道变换后的基向量$i，j$的坐标，利用变换前$v,i,j$之间的线性组合，可以得到变换后的$v$的坐标（在图中可以看到，变换后的向量的坐标仍然使用原始的十字坐标系表示的）

2. 定义矩阵列的含义：基向量变换后的坐标

该$v$的原始的坐标 相当于 告知了与原始基$i，j$的线性关系

变换后的基向量 $i$ 和基向量 $j$ 的坐标与上图相同 — $i:(1,-2),j(3,0)$，向量$v$变换后的坐标为：

• 将变换后的i与j的坐标封装到一个矩阵中：
  $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$
  由矩阵封装过程知：其中第一列为变换后的 i 的坐标(a,c)，第二列为变换后的 j 的坐标(b,d) — 矩阵每一个列可以看成：基向量变换后的坐标

（由上述 向量 v 的一般形式$(x,y)$ 与 两个基向量变换后的坐标的关系）可以得到变换后的向量 v 的坐标：

3. 定义矩阵与向量的乘法：线性变换 作用于 给定的向量

由此可得矩阵与向量乘法的意义：
矩阵向量乘法就是：

计算 线性变换 作用于 给定的向量 的一种途径（即：求经过线性变换后的向量）

• 线性变换是操纵空间的一种手段，他保持网络线平行且等距分布，并且保持原点不动 — 这种变换可以用变换后的 基向量的坐标 表示
• 所以看到一个矩阵的时候，可以将其解读为对空间的一种特定的变换

矩阵每一个列可以看成：基向量变换后的坐标
而矩阵与向量乘可以看成：

1. 对于 变换后的坐标 的 线性组合 来得到变换后的向量
2. 也可理解为：线性变换 作用于 给定的向量 — 其实就是1换了一种说法

• 理由：因为v与i，j 与 变换后的v与变换后的i，j 有同样的线性组合

图中红色圈为变换后的基的坐标，蓝色线为对变换后的基进行线性组合要得到水绿色的那个向量(即变换后的向量)

二：矩阵与矩阵的乘法 - 线性变换复合

Shear：剪切矩阵；错切矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

1. 两个矩阵相乘：就是两个线性变换的相继作用

对向量：先进行旋转，再进行剪切这样的效果 与 这两个操作的复合变换结果应该相同

两个矩阵相乘集合意义： 就是两个线性变换的相继作用

2. 对两个矩阵相乘的过程的两种理解

有$M_2{M}_1$两个矩阵相乘

1. 从图像角度： — 线性变换 先得到改变后的基向量，再由改变后的基向量得到改变后的向量

图一：

图二

• 图中绿色的向量表示为原始基向量i变换后的位置
• 图中红色的向量表示为原始基向量j变换后的位置

角度1的解释：

• 第一个与矩阵$M_1$作用，可以将基向量$i$的坐标变换为$(1,1)$，$j$的坐标变换为$(-2,0)$
  注意，这个时候$i，j$的坐标是相对于最原始的参考系而言的 - 也即我们熟悉的十字坐标系(图一中的水绿色画出的向量$a，b$作为的参考系)
• * 第二次与矩阵$M_2$作用，可以将$i，j$看成一个普通向量
  * 此时的变换是：将图一中水绿色的向量$a，b$看成 — 图一的基向量，$M_2$的每一列为图一基向量对应的坐标：$a(0,1),b(2,0)$，再由$M_2$改变后的基向量$a,b$得到改变后的$i,j$
  * 这一过程就是：将$M_2$的线性变换 作用于 经过$M_1$改变后的普通向量$i，j$上

2. 从运算的角度 — 矩阵的线性变换直接对向量进行改变

• 对于原始基坐标$i，j$经过$M_1$后得到变换后的$i(1,1),j(-2,0)$
• 下来直接让$M_2$的线性变换作用于 变换后的$i,j$：
  

直接由一.3节定义的矩阵与向量的乘法得到经过$M_2$改变后的$i$的坐标（同理可得改变后的$j$的坐标）

3. 运算律

1. 矩阵相乘时，先后顺序会影响结果

绿色线为变换后的的基向量$i$，红色线为变换后的基向量$j$

先shear再rotation：

先rotation然后shear：

发现得到的结果不一样

2. 结合律(Associativity)

$(AB)C=A(BC)$

• 等式左边：$(AB)C$作用于一个向量，相当于先让C作用，再让B作用，再让A作用
• 等式右边：$A(BC)$作用于一个向量，相当于先让C作用，再让B作用，再让A作用

4. 行列式 - 测量变换对空间有多少拉伸或挤压

1. 从二维与三维理解行列式

1. 二维情况：

线性变换改变 面积 的比例 被称为 这个变换的行列式的绝对值
而行列式的正负表示变换后的空间是否被翻转 — 描述定向的改变

• 行列式为6，就是将一个区域的面积变为原来的6倍

• 而当行列式的值为0，我们就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上

• 当行列式为负值的时候， 直观感觉是将空间都翻转了

  原始图像：
  
  改变之后：
  

2. 三维情况：

1. 线性变换改变 体积 的比例 被称为 这个变换的行列式的绝对值
2. 而行列式的正负表示变换后的空间是否被翻转 — 描述定向的改变(通过右手定理判断)

右手定理：右手食指指向i方向，中指指向j，大拇指指向k方向

* 如果变换后仍然可以用右手这么做，那么说明定向没有发生变换，行列式为正
* 如果变换后只能用左手这么做，说明定向发生变换，行列式为负

2. 如何计算行列式

二维：

三维：

证明：

1.一个行列式相当于一次空间变换引起的面积变化
2.两个行列式相乘相当于进行了两次空间放缩,复合变换的缩放比例等于分别变换的缩放比例乘积

三：逆矩阵，列空间，零空间

线性代数在几乎所有领域中都有所体现并被广泛应用的主要原因是：可以帮助我们求解特定的方程组

线性方程组：

矩阵$A$代表一种线性变换
求解$Ax=v$相当于去寻找一个$x$向量，在线性变换后与$v$重合（即：$x$通过线性变换后到$v$的位置）

1. $Ax=v$ 求解$x$时 — 逆矩阵 与 行列式为0的理解

1. $Ax=v$ 当矩阵$A$行列式不为0时
   可以通过对$v$做逆向变换就可以找到$x$ — 逆向变换对应另一个矩阵，被称为“逆”，记为$A^{-1}$
   $A^{-1}A$含义是：先线性变换，在做逆变换 — $A^{-1}A=$什么都不做的变换（恒等变换）
   
   当找到$A^{-1}$时：
   
   将$v$做逆变换(可以做逆变换，说明矩阵$A$行列式不为0，有$A^{-1}$)，得到$x$，此时$x$是唯一解

2. $Ax=v$ 当矩阵$A$行列式为0时 — 变换将空间压缩到更低的维度上
   此时不存在逆变换：不可以将低纬度空间拉伸到一个特定的高维空间 (类似不可以将一条线"解压缩"为一个平面)
   但即便不存在逆变换，解仍然存在：（二维空间）一个变换将空间压缩到一条直线上
   $v$如果恰好在这个直线上时，有解；如果$v$不在这个直线上，则无解
   

2. Rank - 秩：变换后空间的维度/列空间的维数

1. 当变换后向量在一条直线上时 — 结果为一维的：称这个变换的秩为1
2. 当变换后向量在一个平面上时 — 结果为二维的：称这个变换的秩为2

3. 列空间 — 矩阵的列所张成的空间

$A$列空间：$A\hat{v}$所有可能的输出向量的集合（即：$A$的列向量的线性组合）

矩阵的列可以得到基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间（就是变换后的基向量 的线性组合得到的向量）就是所有可能的变换结果

图中的变换后的两个基向量共线，这两个基向量 所张成的空间(向量的线性组合) 在一条直线上


换句话说：列空间就是矩阵的列所张成的空间

$\therefore$更精确的秩的定义是：列空间的维数：因为列空间的维数 — 变换后基向量所张成的空间（向量的线性组合后）的维数，也即：变换后空间的维度

• 对方阵(方阵的理由在文章开头)来说，满秩意味着：秩与列数相等
  矩阵有几列说明有几个基向量(即原始空间是几维)
  秩与列数同时，意味着：变换后基向量所张成的空间与原始空间相同，所以为满秩

4. 零空间 — 变换后的向量 落在零向量上的 向量的集合

零向量一定在列空间中（因为线性变换必须保持原点位置不变）

• 对于满秩(Full rank)变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身
• 对于非满秩的变换，空间被压缩到一个更低的维度上，也就是说：会有一系列向量在变换后成为零向量：(演示变换的参考视频)
  • 如果一个二维线性变换将空间压缩到一条线，那么沿着某个不同方向直线上的所有向量被压缩到原点
    (there is a separate line in a different direction full of vectors that get squished onto the origin)
  • 如果一个三维线性变换将空间压缩到一个平面，会有一整条线上的向量在变换后落在原点
    如果一个三位线性变换将空间压缩到一条直线，有一整个平面上的向量在变换后落在原点

变换后落在原点的向量集合被称为矩阵的"零空间"(Null space)或"核"(Kernel)：变换后一些向量落在了零向量上，而零空间就是这些向量所构成的空间

• 对其次方程组来说$Ax=0$(即：向量$v$为零向量)：
  零空间给出的向量集合就是这个向量方程的所有可能的解 — 因为经过变换后这些向量落在了零向量上

这个现象可以用来解释为什么系数矩阵满秩的齐次方程只有0解，而不满秩的其次方程有一个基础解系

• 满秩时：变换后的空间维数不变，则唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身，即只有0解
• 不满秩时：变换后的空间维度减小，会有一系列向量在变换后成为零向量，即有一个基础解析

5. 综合 — 从几何角度求解线性方程组：从逆矩阵，列空间，零空间

线性方程组：$Ax=v$对应一个线性变换

1. 如果该变换有逆变换时，就可以使用这个逆变换进行求解方程组

2. 如果逆变换不存在

   • 列空间的概念让我们清楚什么时候存在解
     

     一个变换将空间压缩到一条直线上，$v$如果恰好在这个直线上时，有解；如果$v$不在这个直线上，则无解

3. 零空间概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的（对于齐次方程组而言$Ax=0$求解）

四：非方阵几何含义 — 不同维度的映射

讨论不同维度直接的变换是合理的：

将矩阵的列视为：变换后的基向量坐标

这个矩阵是$3\times 2$：

列数为2：说明原始空间中有两个基向量
矩阵的列为对应变换后基向量的坐标
行数为3：说明变换后基向量的坐标到了3维（每个变换后的向量用三个独立的坐标来描述）
也即：两个原本在二维空间的基向量被映射到了3维空间

映射后的含义 — 在三维空间中的二维平面

这个矩阵的列空间是三维空间中过原点的二维平面：映射到三维空间后，图中两个向量方向不同，两个不同方向向量的线性组合为平面
$\therefore$ 这个矩阵是满秩的：因为列空间的维数与输入空间的维数相等：列空间维数是2，输入空间维数也是2

这个矩阵是$2\times 3$：

列数为3：说明原始空间中有三个基向量
矩阵的列为对应变换后基向量的坐标
行数为2：说明变换后基向量的坐标到了2维（每个变换后的向量用两个独立的坐标来描述）
也即：两个原本在三维空间的基向量被映射到了二维空间

五：点积与其对偶性

1. 点积与其几何解释 — 正交投影后长度相乘，正负与两个向量朝向有关

$$\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=4\ast 2+1\ast (-1)=7$$
点积的含义 — 向量$w$朝着 向量$v$ 正交投影，投影的长度与向量$v$的长度相乘，而正负与$w$的投影和$v$方向有关

点积的含义：向量$w$朝着 过原点和向量$v$终点的直线上 正交投影，将投影的长度与向量$v$的长度相乘，而正负与$w$的投影和$v$方向有关（$w$投影到$v$与$v$投影到$w$效果一样）

• 当两个向量的指向基本相同时：点积为正
• 当两个向量的指向垂直时：点积为0
• 当两个向量的指向基本相反时：点积为负

点积与投影顺序无关，即：$w$投影到$v$与$v$投影到$w$效果一样 — 演示视频

一个向量为$v$，一个向量为$w$，两个向量的长度相同

此时$w$向$v$的投影与$v$向$w$的投影相同，即这个情况说明了点积与投影顺序无关

当$v$ —> $2v$时，以下证明点积与顺序无关

$w$投影到$2v$向量上，投影长度固定与$w$投影到$v$向量上相同，而$v$长度变成了$2v$的长度，所以最后的结果为2倍的$v\cdot w$

将$2v$投影到$w$上，投影长度是$v$向量投影到$w$向量的两倍，向量$w$长度不变，所以最后的结果为2倍的$v\cdot w$

2. 对偶性(duality)：点积 与 对应坐标相乘并相加 之间的联系

1. 线性变换简化成一个等价的直观特性

高维空间中的变换需要满足一些严格的特性才会具有线性 — 保持网络线平行且等距分布，并且保持原点不动

这个条件可以简化成一个等价的直观特性：

即：在直线上有一系列等距分布的点，线性变换后这些点仍然等距分布在输出空间中，则说明变换是线性的

2. 向量 线性变换为数 与 映射矩阵对应向量 存在的关系：应用映射矩阵线性变换 和 与映射矩阵对应的向量(对偶向量)做点积 是一样的结果

将向量线性转化为数的线性变换与这个向量本身有着某种关系 — 演示视频

• $\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$为对应的单位向量$u$的坐标，其是一个二维向量，但其正好落在了我们定义的要变换到的一维数轴上，所以变换后还是一维数组的单位向量

• $[u_x,u_y]$称为映射矩阵(变换矩阵)，这是与$u$相关的，后续会有求出该映射矩阵过程

• 由上图计算可以看到图中 $1\times 2$矩阵与二维向量相乘的计算过程 和 矩阵对应的向量（对偶向量）与二维向量求点积的过程相同，所以这个投影变换必然和某个二维向量相关

以下来寻找图中投影矩阵与向量相乘的含义

将二维平面线性转化到图中的直线上，假设该 一个单位长度的向量称为$u$ 是一个二维向量，但其正好落在了我们定义的要变换到的一维数轴上

当然这个变换是线性的，因为可以由上面的等价的直观特性得到


单位向量$u$的坐标为$\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$，此时投影矩阵为$\left[\begin{array}{c}{u}_x,u_y\end{array}\right]$ 的证明:

此时的投影矩阵是$1\times 2$(每列对应变换后的基坐标，1行说明变换后坐标用一个数表示)，下来求这个投影矩阵(即：找到基坐标变换后的坐标)：

如图对称轴可以得到：$i$映射到$u$上与$u$映射到$x$上的长度是一样的，所以$i$变换后为$u_x$

同理可得$u$映射到$j$的长度，所以得到变换后的$j$

• 投影矩阵与向量相乘的意义是：将变换运用到向量上 — 由上述演示即：将向量投影到对应的直线上

空间中任意一个向量经过变换后的结果就是：投影矩阵与这个向量相乘，由本节开始计算过程发现 映射矩阵与向量相乘 和 向量和向量$u$的点积 的结果相同（此时假设的$u$为单位向量）

• $\therefore$ 与单位向量的点积可以解读为 — 将向量投影到单位向量所在的直线上的所得到的投影的长度

将二维平面线性转化到图中的直线上，假设 一个3倍单位长度的向量称为$3u$ 是一个二维向量，但其正好落在了我们定义的要变换到的一维数轴上

当然这个变换是线性的，因为可以由上面的等价的直观特性得到


向量$3u$的坐标为$\left[\begin{array}{c}3u_x\\ 3u_y\end{array}\right]$，投影矩阵为$\left[\begin{array}{c}3u_x,3u_y\end{array}\right]$:

数值上说，这个 $3u$向量 相对于 $u$向量 而言，它的每个坐标都被放大了原来的3倍，所以要寻找这个向量相关的投影矩阵 — 实际上就是$i,j$投影得到的值的3倍

$3u$向量对应的投影矩阵 的线性变换 是线性的，所以投影矩阵可以看作：将任何向量朝斜着的一维轴投影，再将结果乘以3

空间中任意一个向量经过变换后的结果就是：投影矩阵与这个向量相乘，由本节开始计算过程发现 $3u$对应映射矩阵与向量相乘 和 向量和向量$3u$的点积 的结果相同（此时假设的$3u$为3倍的单位向量$u$）

• $\therefore$ 与3倍的单位向量的点积可以解读为 — 将向量投影到3倍的单位向量所在的直线上的所得到的投影的长度，再乘以3

$\therefore$ 任意向量与非单位向量的点积 可以理解为：首先朝 给定向量投影，再将投影的值与给定向量长度相乘

3. 过程总结，对偶性，与点积含义

过程总结：
有一个从二维空间到数轴的线性变换，其不是由向量数值或点积运算定义的，是通过将空间投影到给数轴定义

因为这个变换是线性的，所以可以使用$1\times 2$矩阵描述，又因为$1\times 2$矩阵与二维向量相乘的计算过程 和 转置矩阵与向量求点积的过程相同，所以这个投影变换必然和某个二维向量相关

所给的启示：在看到任何一个线性变换，他是输出是一个一维数轴，无论其如何定义，空间中一定存在唯一一个向量$v$与之相关 — 即：应用线性变换 和 与向量$v$做点积 是一样的结果



对偶性(duality)：

这是数学中"对偶性(duality)"的一个实例

对于刚才学的内容而言，可以说：

1. 一个向量 对偶是 由它所定义的线性变换
   
   任意向量先朝给定向量进行投影，再将投影的值与给定向量长度相乘 这个过程相当于 给定向量对应投影矩阵所做的线性变换

2. 一个多维空间到一维空间的线性变换 对偶是 多维空间的某个特定的向量
   
   在看到任何一个线性变换，他是输出是一个一维数轴，无论其如何定义，空间中一定存在唯一一个向量$v$与之相关 — 即：应用线性变换 和 与向量$v$做点积 是一样的结果

点积：

• 两个向量的点积 与 对应矩阵和向量相乘 结果一样
  
• 点积是理解投影的有效工具，并且方便检验两个向量的指向是否相同
• 两个向量点乘 就是 将其中一个向量转化为线性变换（此时这个向量不仅仅是空间中的箭头，而是线性变换的载体）

六：叉积

先介绍叉积的标准介绍，再通过线性变换深入理解 — 叉积参考视频

1. 叉积的介绍与计算 — 两个向量围成平行四边形面积与长度同，方向遵循右手定则的一个向量

二维空间时：(这里的描述不是严格定义的叉积)
$v,w$两个二维向量

• 他们的叉积$v\times w$的绝对值： 就是这两个向量组成的平行四边形
• 而方向： 如果$v$在$w$的右侧，则其叉积为正；如果在左侧，则值为负

如何求正负：


这个顺序记忆的方法：
当按序求两个基向量的叉积：即$i$叉乘 $j$（$i\times j$） 结果应该是 — 正1.

• 实际上，基向量的顺序就是定向的基础：因为$i$在$j$的右侧，所以答案为正

如何求平行四边形面积： — 行列式[也同时求得了叉积的正负]（在第二章第4节）
叉积$v\times w=$：将$v,w$的坐标组成行列式各列，直接计算行列式，这样可以得到对应 面积值 还有 正负号

• 如此计算是因为：

1. 由$v,w$的坐标为列构成的矩阵，与一个将$i,j$分别变换到$v,w$的线性变换对应 — 之前内容：矩阵的列为$i,j$变换后的矩阵
2. 而行列式就是变换前后面积变换的度量， 而行列式的正负表示变换后的空间是否被翻转 — 描述定向的改变

这个过程就变成了：开始是变换前的$i.j$，他们所构成的为单位为1 的正方形，而经过线性变换后，$i,j$的位置变成了我们需要的$v,w$，而其原来的单位为1的正方形变成了我们现在所关系的平行四边形，而行列式：可以描述面积的变化 以及 定向的变化

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以上虽然描述了叉积，但不是真正意义上的叉积，只是为了引入，所以之后不再使用以上进行计算叉积

真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量

叉积首先是一个向量 $v\times w=p$

• 其大小仍然是两个三维向量组成的平行四边形的面积
• 其方向与平行四边形垂直 — 使用右手定则

  
  食指指向$v$，中指指向$w$，拇指就为叉积方向

计算叉积：

• 此时求出的向量(叉积) 是为一个 值与$v,w$围成平行四边形面积相同，方向与$v,w$垂直且遵循右手定则 的向量

2. 叉积对偶性 — 叉积所得向量几何意义是对偶向量

上一节讲了如何计算，但为什么需要这样计算？如果要理解这些，需要用到第五章第2节的对偶性 — 参考视频

1. 对偶性的回顾：

   对偶性的含义：每当看到一个多维空间到数轴的线性变换时，它都与那个空间中的唯一一个向量对应（这个向量称为这个变换的对偶向量），即：应用线性变换 和 与这个向量点乘等价

2. 理解思路：
   
   理解这个变换，可以解释清楚 叉积的计算过程 和 几何含义 之间的对应关系
   

3. 定义一个函数来理解：
   定义一个函数：输入是三维空间一个向量，然后通过矩阵的行列式得到一个数。（这个矩阵第一列为输入的向量，第二列，第三列为向量$v,w$）
   
   这个函数的几何意义为：对应任何输入的向量$(x,y,z)$都考虑由它和$v,w$确定的平行六面体，得到他的体积（由行列式的意义得），然后根据定向确定符号
   
   这个函数是线性的(来个笨方法：把函数当成变换看，行列式展开后能明显看出来线性变换的可加性和成比例的性质)，所以才可以引进对偶性的思想

上面定义的函数是线性的，所以可以使用矩阵乘法来描述这个函数，并且找到对应的对偶向量

• 因为这个函数是从三维空间映射到一维空间，对应线性变换这是一个$1\times 3$
  的矩阵
  

• 而对偶性的总体思路：从多维空间到一维空间的变换的特别之处 在于 可以将这个矩阵变为对应的对偶向量，然后这个变换看成与这个对偶向量的点积
  

而我们要找的叉积就是：这个特殊的三维向量，我们称为$p$
要使得$p$与其他任意向量$(x,y,z)$的点积等于一个$3\times 3$的矩阵的行列式 — 这个矩阵第一列为$(x,y,z)$其他两列为$v,w$的坐标

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下来讨论定义函数变化的计算意义和几何意义

(1) 叉积的计算意义：

展开点积和行列式，可以得到$p$各个坐标

总结来说：
求一个向量$p$，这个向量$p$和某个向量$(x,y,z)$点乘时，所得的结果等于一个$3\times 3$的矩阵的行列式 — 这个矩阵第一列为$(x,y,z)$其他两列为$v,w$的坐标

(2) 叉积的几何意义：

由计算意义和行列式的意义（三维时，行列式表示体积的变化，而变化前体积为1[基向量$i,j,z$围成体积为1]）得:
将$p$和某个向量$(x,y,z)$点乘时，所得的结果等于一个由$(x,y,z)$和$v,w$确定的平行六面体的体积

点积回顾：
回顾点积那章，向量$p$和其他向量的点积的解释：是将其他向量投影到$p$上，然后将投影长度和$p$的长度相乘

对于我们关系的平行六面体的体积

• 首先我们获得$v,w$所确定的平行四边形的面积 $\times$ $(x,y,z)$ 在垂直于平行四边形方向上的分量
  

还记得在最开始我们定义的 线性函数吗，按照上面我们对平行六面体的体积描述，我们对于那个线性函数换一个说法：

• 找到的线性函数 对于 给定向量的作用，是将这个向量 投影到 垂直于$v,w$的直线上，然后将投影长度于$v,w$组成平行四边形面积相乘
  
• 但这和垂直于$v,w$且长度为平行四边形面积的向量 与 $(x,y,z)$点乘是一回事（具体看点积回顾）
  
  而垂直于$v,w$且长度为平行四边形面积的向量就是我们所找的向量$p$

这意味着我们找到了向量$p$和某个向量$(x,y,z)$点乘时，所得的结果等于一个$3\times 3$的矩阵的行列式 — 这个矩阵第一列为$(x,y,z)$其他两列为$v,w$的坐标

(3) 总结：
之前通过计算得到的$p$的坐标

必然在几何上与这个向量对应

这就是叉积的计算过程和几何解释有关联的根本原因

(4) 过程整体理解：

1. 先定义一个三维到数轴的线性变换
   

2. 从两个不同方式考虑这个向量的对偶向量，即 应用这个变换 和 对偶向量点乘 等价

   • 一方面计算方法引导可以使用如下技巧：（矩阵第一列中插入$i,j,k$，然后计算行列式）
     
   • 另一方面，从几何角度，推出对偶向量向量必然与$v,w$垂直且长度与这两个向量围成平行四边形面积同
     

   这两种方法给出了同一种变换的对偶向量，因此这两个向量必然相同

这两种方法分别是：
方法1.用几何方法推出p的大小为vw张成面积，方向为垂直vw面。
方法2：整理行列式的计算式子使得表达式等于p与xyz的点积，那么p就求出了，因为是同一回事，所以两种方法是在求同一向量

参考视频

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=1