四阶代数余子式怎么求_线性代数复习

复习思路

​ 这次复习线性代数是为了给机器学习、数值分析、最优化理论三门课程打基础（这三门课程里面的矩阵使用实在太多、太深）。具体来说是要对行列式、矩阵运算、矩阵分解、线性变换里面的基础概念记忆。纸质的笔记仅列出概念，要求自己看到后能理解，算是对复习效果的自测。有时间的话把详细内容放在知乎上，以便以后复习。这次疫情我什么书也没带，因此深切感受到把笔记放在网上的重要性。

​ 线性代数的问题是解线性方程组，记忆概念最好围绕具体解方程的问题展开。我一直反对很多数学书前言中提出的

要用数学严谨、全面的思维学习

​ 我反而比较认同3Brown1Blue（一个解释线代概念的视频，放在在B站上）制作人Grant的观点。

学习一个数学概念的时候开始可以只学习简陋的（甚至错误的）结论，在使用和之后的学习过程中不断地完善这个结论

之前已经学过线性代数，用的国外教材，比较简单。这次想找丘维声的高等代数来看看，很多比较难的地方就跳过去了，全当回忆基础概念。

基础介绍

• 线性代数是对解方程和线性空间/线性映射的讨论
• 集合上映射的定义：像、原像、定义域、培域
• 满射、单设、双射
• 映射的乘积：结合律
• 恒等映射，集合A上记作
• 逆映射、可逆映射、左满右单、冲有条件

第一章 线性方程组解法

• 线性代数的出发点和矩阵的提出都源自n元线性方程组。核心问题就是怎么解方程（一直记得大一时，老师说这句话时，我心想这也太简单了……现在想起来当年还是naive）
• 方程组的初等变换、阶梯形方程组、同解定义
• 增广矩阵、阶梯形矩阵、矩阵初等换变换、主元
• 简化行阶梯形矩阵（作用）
• 判断n元线性方程组无解、有解（1个/无数个）
• 齐次线性方程->系数矩阵
• 零解、非零解（无数个姐）

行列式

1.逆序数

逆序数：在一个排列中，逆序的数量即为一个排列的逆序数，记为

。

例如排列2431，其中逆序为43、12、13、14。那么

偶排列和奇排列：逆序数为偶数为偶排列，否则为奇排列。

定理：对换改变排列的奇偶性。

定理：任一n元排列与排列1，2，……，n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n原排列有相同的奇偶性。

定理：在全部n原排列（n > 1）中，奇偶排列各占一半

2.行列式

定义：n阶矩阵

的行列式为

其中

表示取遍所有的n元排列

例如二阶矩阵

，的行列式有2!项。结果为

更一般形式推导：|A|中的每一项为

考虑重新排列

为

可以证明

因此可以得到

3.按行（列）展开的形式表示行列式：

余子式：n级矩阵

，划去第i行第j列，剩下的元素按原来的次序排列成n - 1级矩阵，剩下的矩阵的行列式称为余子式，记为

。令

称为代数余子式

行列式：行列式|A|等于第i行元素与自己的代数余子式乘积之和

注：对任意一列也可以做相同的展开得到行列式。

3.行列式性质

性质1：

性质2：矩阵A某一行乘上系数k得到矩阵B，则|B| = k|A|

性质3：

性质4：矩阵A对换两行得到矩阵C，则|C| = -|A|

性质5：两行成比例（包括相同），行列式相等

性质6：把矩阵A一行的倍数加到另一行上得到矩阵D（矩阵的基本变换），则|D| = |A|