线性代数的本质（3Blue1Brown视频整理）

向量：看做一种特定的运功

基本操作：

• 向量加法：两种运动的组合 对应项相加
• 向量数乘：缩放向量

每个向量可看做对 i, j 向量缩放并相加。 i, j 向量 合称为二维坐标系的基向量

可以定义不同的基向量

线性组合：两个数乘向量的和
张成空间：所有线性组合构成的向量集合

在二维空间中：

• 当向量不共线时，张成空间为平面所有二维向量的集合。
• 向量共线时，张成空间就是一条直线上的向量集合 (同为0向量除外)。

线性相关： 在一组向量中，若有一个向量

• 对张成空间没有贡献，即不增加该组向量的张成空间
• 可表示为其它向量的线性组合

则该组向量线性相关。反之，每个向量都为张成空间增加了新的维度，则它们线性无关。

基：张成该向量空间的一个线性无关向量集。
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线性变换：严格上讲，是以向量为输入和输出的一类函数。可看作操纵空间的一种手段：

1. 保持原点不动
2. 网格线保持平行且等距分布（任意一条直线在变换后仍是一条直线）

一个二维线性变换仅由四个数字完全确定：i, j 变换后的坐标 [a, c], [b, d]， 可看作新的基向量

如果变换后的基向量是线性相关的，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到一条直线上。

将看到的每个矩阵都理解为空间的一种特定变换，矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于定向量的一种途径。

对给定向量先旋转后剪切，相当复合变换。因此将该复合矩阵看作剪切矩阵和旋转矩阵的乘积是合理的。

行列式：线性变换面积改变的比例
由于网格线保持平行且等距分布，只需观察单位正方形面积改变比例即可。

行列式为0，意味着将空间压缩到更小的维度上。
行列式为负，意味着空间定向发生了改变（变换中 i, j 交错），绝对值仍为面积改变比例。

三维空间中，行列式代表平行六面体的体积。

三维空间的空间定向：右手定则。

行列式计算：

求解方程组，相当于寻找一个向量x，使得它在线性变换后与v重合。

当A行列式不为0时，追踪A的逆变换，可得唯一解x，通过左乘A逆求解。
逆矩阵：原矩阵的逆变换，同时作用相当于恒等变换（什么都不做）。

当 A 行列式为0时，空间被压缩到更低的维度上，此时没有逆变换（线性变换不可能将一个点解压为一条线）。
但仍可能有解，当 v 恰好落在压缩后的空间时。

列空间：矩阵的列所张成的空间
秩：代表变换后空间的维数，即列空间的维数。
满秩：秩 = 列数
零空间、核：变换后落在原点的向量集合

点积

叉积

基变换

Jennifer坐标系的值 --> 我们坐标系的值
我们对Jennifer坐标系向量的误解 --> 她真正想表示的向量： 左乘基变换矩阵

我们坐标系的值 --> Jennifer坐标系的值：左乘基变换矩阵的逆

如何用Jennifer语言描述变换矩阵：
左乘基变换矩阵（转化为我们语言） --> 在我们坐标系下左乘变换矩阵 --> 左乘基变换矩阵的逆（转化为Jennifer语言）

特征向量：在线性变换中，停留在自己所张成的直线空间，只发生拉伸或压缩，并未发生旋转的向量。
特征值：特征向量拉伸或压缩的比例因子。
作用：理解线性变换应当较少依赖于特定坐标系，观察特征向量和特征值是更好的方法。

当 λ 取到特征值时，（A-λI） 的行列式为0，即对应的变换将空间压缩到更低的维度上。
此时存在非0特征向量 v ,在变换后被压缩成0向量。

特征基：一组基向量（同时恰好是特征向量）构成的集合。为对角矩阵，对角元为对应特征值。
当特征向量足够多，能张成全空间时，就可以用基变换转化为特征基，对角矩阵能大大简化矩阵运算。