1.问题引入
从本周起正式进入cs61b的后半部分课程，数据结构，考虑一个问题:
现有一个有序数组，查找数组中是否有重复项
算法1:逐项比较，比如A[0]分别与A[1],A[2],A[3]......A[n]比较，之后再从A[1]开始，与A[2],A[3]....A[n]比较，A[2]与A[3],A[4]....比较，以此类推。
显然算法1并未充分利用数组有序性的特点，因此算法2:
由于数组是有序的，因此我们只需要比较相邻两项即可，重复的元素一定位于相邻两项。
即A[0]与A[1]比较,A[1]与A[2]比较，A[2]与A[3]比较....A[n-1]与A[n]比较。
使用Java实现以上两种算法，分别是
//算法1
public static boolean dup1(int[] A) {
for (int i = 0; i < A.length; i += 1) {
for (int j = i + 1; j < A.length; j += 1) {
if (A[i] == A[j]) {
return true;
}
}
}
return false;
}
//算法2
public static boolean dup2(int[] A) {
for (int i = 0; i < A.length - 1; i += 1) {
if (A[i] == A[i + 1]) {
return true;
}
}
return false;
}
那么现在的问题是:算法1与算法2哪个更好？判断标准是什么？
2.运行时间测量
在Linux下使用命令time 可实现程序运行时间的测量。我们的main()函数主要是分别对dup1()和dup2()调用:
public static void main(String[] args) {
int N = Integer.parseInt(args[0]);
int[] A = makeArray(N);
dup1(A); // dup2(A);
}
上图是dup1()，下图是dup2(),当数组大小为200000 时，对比运行时间可知dup2()明显快很多，
当数组大小为1000000时，dup1()直接TLE了，dup2()依然可以很快得出结果
但是事实上仅凭运行时间得出的结果只是给人一种直观的感受，算法2更快，时间测量的方法必须基于同一台机器上，不同的电脑性能不同，运行时间也会不同，设想一下在超级计算机上运行dup1()，依然可以相对较快。
3.衡量计算成本
现在我们考虑以一种新的方式来衡量两种算法的运行时间，即分析程序的每一条代码操作的执行次数，为何这样考虑更优？是因为无论在哪台机器上运行这两个函数dup1()与dup2()，其代码执行次数是一定的，与机器性能优劣无关，更加科学。
算法1
算法2
显然，线性函数与抛物线相比，前者更优，以上执行次数公式是josh直接给出的，后续会有详细
介绍。
4.简化成本模型
事实上，在分析一个程序的计算成本时，不必考虑如此细致，可做以下简化:
Simplifications:
- 只考虑最坏情况
- 选择最具代表性的操作
- 忽略低阶函数和常数系数
算法处理规模十分重要！最坏的情况往往最具有代表性，当程序的任务处理量很少时，在现代计算机上，一秒能够执行1e8的任务量，此时无论你选择哪种算法都影响不大，但是当任务量极大时，算法的优劣则体现出来了，好的算法能够快速执行完程序并反馈给用户，而劣式算法会花费数以千计的时间。
让我们重新对dup1()进行估计:
- 选取最具代表性的操作，例如:
- 增量 +=1(其实并非最具代表性) 代码执行次数是 1 to \( (N^2+N)/2 \)
- 考虑最坏情况: \( (N^2+N)/2 \)
- 忽略常数系数与低阶函数: \( N^2 \)
因此最坏情况下的运行时间阶数为 \( N^2 \)
5.精确得出代码执行次数
上面我们是直接给出的操作的执行次数，可能初学者不太理解如何得出，因此这次我们精确地给出数学公式的表达。
选取最具代表性操作:
$$ if (A[i] == A[j]) $$
即 == 操作，再一次对dup1()进行估计，可以分别列出i与j的取值方阵，寻找规律(也可以根据代码直接分析出来，如i = 0, j = 1,2,......N-1)
几何直观估计
在几何直观上，==的操作次数即蓝色区域三角形的面积: \(N^2/2\)
6.Big-Theta
定义:
$$ R(n)\in \Theta(f(n)) $$
表示存在两个数\(k_{1},k_{2}\),对所有\(N > N_{0}\) ,有:
$$ k_{1}\cdot f(n) \le R(n) \le k_{2}\cdot f(n) $$
即\(\Theta(f(N))\)的含义是\(R(N)\)属于\(f(N)\)的函数簇
Example:
\( 40 sin(N) + 4N^2 ∈ Θ(N^2) \)
\( R(N) = 40 sin(N) + 4N^2 \)
\( f(N) = N^2 \)
k1 = 3
k2 = 5
7.Big-O
定义:
$$ R(n)\in O(f(n)) $$
表示存在\(k_{2}\),对所有\(N > N_{0}\) ,有:
$$ R(n) \le k_{2}\cdot f(n) $$
即\(O(f(N))\)的含义是\(k_{2} \cdot f(N)\)是\(R(N)\)上界
Example:
\( 40 sin(N) + 4N^2 ∈ O(N^4) \)
\( R(N) = 40 sin(N) + 4N^2 \)
\( f(N) = N^4 \)
k2 = 1
8.总结
