趣题:和为90度的一组锐角,正弦值之和一定大于1

    偶然瞥见一道很妙的题目:已知三个锐角 α 、 β 、 γ 的和为 90°,求证:sinα + sinβ + sinγ > 1

    这个问题的证明方法有很多,不过大家一定会喜欢下面这个证明:

      趣题:和为90度的一组锐角,正弦值之和一定大于1_第1张图片

    作一个半径为 1 的 90° 扇形,于是图中 α + β + γ = 90° 。注意到 △ABM 的面积可以写成 (1/2) · AB · AM · sinα = sinα / 2,类似地 △AMN 、 △ANC 的面积分别为 sinβ / 2 和 sinγ / 2 ,但他们的面积之和显然大于 △ABC。于是,sinα / 2 + sinβ / 2 + sinγ / 2 > 1/2,即 sinα + sinβ + sinγ > 1 。

    这个问题来源于张景中的《数学家的眼光》。

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