数据结构—串

数据结构中提到的串，即字符串，由 n 个字符组成的一个整体（ n >= 0 ）。这 n 个字符可以由字母、数字或者其他字符组成。

特殊的串

空串：含有零个字符的串。例如：S = “”（双引号中没有任何东西），一般直接用 Ø 表示。
空格串：只包含空格的串。注意和空串区分开，空格串中是有内容的，只不过包含的是空格，且空格串中可以包含多个空格。例如，a = ” ”（包含3个空格）。
子串与主串：串中任意个连续字符组成的字符串叫做该串的子串，包含子串的串称为主串。

例如：a = ”BEI”，b = ”BEIJING”，c = ”BJINGEI” 。对于字符串 a 和 b 来说，由于 b 中含有连续的字符串 a ，
所以可以称 a 是 b 的子串，b 是 a 的主串；而对于 c 和 a ，虽然 c 中也含有 a 的全部字符，但不是连续的 “BEI” ，所以串 c 和 a 没有任何关系。

子串在主串中的位置：对于串 a = ”BEI” 来说，首字符 ‘B’ 在串 b 的位置为 1 ，所以子串 a 在主串 b = “BEIJING” 中的位置是 1。

子串在主串中的位置和字符在数组中的存放位置不同，子串在主串的位置从 1 开始数。
两个串相等的标准：如果两个串的串值完全相同，那么这两个串相等。

串的三种存储结构存

储串的结构有三种：
1 定长顺序存储；
2 堆分配存储；
3 块链存储。

定长顺序存储

采用固定长度的数组（即静态数组）存储串。
例如：char a[7] = "abcdfg";
此方式存储串时，需要预估串的长度提前申请足够的存储空间。目标串如果超过了数组申请的长度，超出部分会被自动舍弃（称为“截断”）。
例如：char a[3] = "abcdfg";//实际上数组中只存储了 “abc” ，后边的被截断。堆分配存储

采用动态数组存储串。

在C语言中，存在着一个被称之为“堆”的自由存储区，用 malloc 函数和 free 函数管理，malloc 函数负责申请空间，free 函数负责释放空间。
例如：

char * a = (char*)malloc(5*sizeof(char));//创建 a 数组，动态申请5个 char 类型数据的存储空间

使用堆分配存储的优势在于：当发现申请的空间不够用时，可以通过 realloc() 函数重新申请更大的存储空间。

例如：a = (char*)realloc(a, 10*sizeof(char));//前一个参数指申请空间的对象；第二个参数，重新申请空间的大小

使用 malloc 函数申请的存储空间，不会自动释放，需要程序员调用 free() 函数手动释放。如果不手动释放，当程序执行彻底结束，由操作系统进行回收。

例如：free(a);//释放动态数组a申请的空间

举一个完整的例子，连接串 “abc” 和 “defg” 变为 “abcdefg” ；

#include 
#include 
#include 

int main()
{
    char * a1=NULL;
    char * a2=NULL;
    
    a1=(char*)malloc(3*sizeof(char));
    strcpy(a1, "abc");//将字符串“abc”复制给a1
    
    a2=(char*)malloc(3*sizeof(char));
    strcpy(a2, "defg");
    
    int lengthA1=strlen(a1);
    int lengthA2=strlen(a2);
    if (lengthA1

image.png

注：在程序中，我们给 a1 和 a2 赋值的时候，使用了 strcpy 复制函数。在这里不能直接用：a1 = ”abc”这种方式，
如果你这样做，程序编译会出错，告诉你，没有 malloc 的空间不能 free 。

原因是： strcpy 函数是将字符串复制到申请的存储空间中，而直接赋值是字符串存储在别的内存空间（本身是一个常量，放在常量区）中，
更改了指针 a1 和 a2 的指向，也就是说，之前动态申请的存储空间虽然申请了，结果还没用呢就丢了。

块链存储

块链存储，其实就是借用链表的存储结构来存储串。一般情况下使用单链表就足够了，而且不需要增设头结点。

在构建链表时，每个结点可以存放一个字符，也可以存放多个字符。

块链存储.png

链表中最后一个结点的数据域不一定全被串值占满，通常会补上 “#” 或者其他特殊的字符和字符串中的字符区分开。

每个结点设置字符数量的多少和存储的串的长度、可以占用的存储空间以及程序实现的功能相关。

如果串包含数据量很大，但是可用的存储空间有限，那么就需要提高空间利用率，相应地减少结点数量（因为多一个节点，就多申请一个指针域的空间）。

而如果程序中需要大量地插入或者删除数据，如果每个节点包含的字符过多，操作字符就会变得很麻烦，为实现功能增加了障碍。

总结

在平时编写程序，经常会用到例如：char *a = ”abcd”;这种方式表示字符串，和上面三种存储方式最主要的区别是：这种方式用于表示常量字符串，只能使用，不能对字符串内容做修改（否则程序运行出错）；而以上三种方式都可以对字符串进行删改的操作。

例如：

#include 
int main() {
    char* a="abcd";
    a[1]='b';
    return 0;
}

程序编译可以通过，运行失败，改成下面堆分配存储的方式就对了：

#include 
#include 
#include 
int main() {
    char * a=(char*)malloc(4*sizeof(char));
    strcpy(a, "abcd");
    a[1]='e';
    printf("%s",a);
    return 0;
}

image.png

三种存储表示方式中，最常用的是堆分配存储，因为它在定长存储的基础上通过使用动态数组，避免了在操作串时可能因为申请存储空间的不足而丢失字符数据；和块链存储方式相比，结构相对简单，更容易操作。

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BF算法(普通模式匹配算法)

判断两个串之间是否存在主串与子串的关系，这个过程称为串的模式匹配。

在串的模式匹配过程，子串 T 通常被叫做“模式串”。

普通的模式匹配（“BF”算法）

判断两个串是否存在子串与主串的关系，最直接的算法就是拿着模式串，去和主串从头到尾一一比对，这就是“BF”算法的实现思想。

将提供的模式串（例如 “abcac” ）从主串的第一个字符开始，依次判断相同位置的字符是否相等，如果全部相等，则匹配成功；

反之，将子串向后移动一个字符的位置，继续与主串中对应的字符匹配。

算法运行过程：（图中，i 和 j 表示匹配字符在数组中的位置下标）

image.png

如图所示，第一次匹配，模式串和主串匹配到第三个字符时，匹配失败；模式串向右移动一个字符的位置，

还是从第一个字符 ‘a’ 和主串的第二个字符 ‘b’ 相匹配，匹配失败；模式串继续后移一个字符的位置，继续匹配。

#include 
#include 
int sel(char * S,char *T){
    int i=0,j=0;
    while (i

image.png

“BF”算法的时间复杂度

“BF” 算法在最理想的情况下的时间复杂度为O(m)( m 是模式串的长度，也就是第一次匹配就成功的情况)。
一般情况下，"BF"算法的时间复杂度为O(n+m)(n是主串的长度，m是模式串的长度)。
最坏的情况下的时间复杂度为O(nm)（例如主串 S 为“000000000001”，模式串 T ”001”,每次匹配时，
直到匹配最后一个元素，才得知匹配失败，运行了 nm 次）。

总结

“BF”算法在进行模式匹配时，从主串的第一个字符开始，每次失败，模式串向后移动一个字符的位置，继续匹配，无脑式操作。但是整个算法受测试数据的影响非常大，在解决实际问题时，由于数据量庞大，时间复杂度往往会很高。所以，对在“BF”算法的基础上，对其做了改进，形成“KMP”算法。

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KMP算法(快速模式匹配算法)

普通模式匹配算法，大体思路是：模式串从主串的第一个字符开始匹配，每匹配失败，主串中记录匹配进度的指针 i 都要进行 i-j+1 的回退操作（这个过程称为“指针回溯”），同时模式串向后移动一个字符的位置。一次次的循环，直到匹配成功或者程序结束。

"KMP"算法相比于"BF"算法，优势在于：

• 在保证指针 i 不回溯的前提下，当匹配失败时，让模式串向右移动最大的距离；
• 并且可以在O(n+m)的时间数量级上完成对串的模式匹配操作；

故，"KMP"算法称为“快速模式匹配算法”。

模式串向右移动距离的计算

在模式串和主串匹配时，各有一个指针指向当前进行匹配的字符（主串中是指针 i ，模式串中是指针 j ），在保证 i 指针不回溯的前提下，如果想实现功能，就只能让 j 指针回溯。

j 指针回溯的距离，就相当于模式串向右移动的距离。 j 指针回溯的越多，说明模式串向右移动的距离越长。

计算模式串向右移动的距离，就可以转化成：当某字符匹配失败后， j 指针回溯的位置。

对于一个给定的模式串，其中每个字符都有可能会遇到匹配失败，这时对应的 j 指针都需要回溯，具体回溯的位置其实还是由模式串本身来决定的，和主串没有关系。

模式串中的每个字符所对应 j 指针回溯的位置，可以通过算法得出，得到的结果相应地存储在一个数组中（默认数组名为 next ）。

计算方法是：对于模式串中的某一字符来说，提取它前面的字符串，分别从字符串的两端查看连续相同的字符串的个数，在其基础上 +1 ，结果就是该字符对应的值。

每个模式串的第一个字符对应的值为 0 ，第二个字符对应的值为 1 。

例如：求模式串 “abcabac” 的 next 。前两个字符对应的 0 和 1 是固定的。

对于字符 ‘c’ 来说，提取字符串 “ab” ，‘a’ 和 ‘b’ 不相等，相同的字符串的个数为 0 ，0 + 1 = 1 ，所以 ‘c’ 对应的 next 值为 1 ；
第四个字符 ‘a’ ，提取 “abc” ，从首先 ‘a’ 和 ‘c’ 就不相等，相同的个数为 0 ，0 + 1 = 1 ，所以，‘a’ 对应的 next 值为 1 ；
第五个字符 ‘b’ ，提取 “abca” ，第一个 ‘a’ 和最后一个 ‘a’ 相同，相同个数为 1 ，1 + 1 = 2 ，所以，‘b’ 对应的 next 值为 2 ；
第六个字符 ‘a’ ，提取 “abcab” ，前两个字符 “ab” 和最后两个 “ab” 相同，相同个数为 2 ，2 + 1 = 3 ，所以，‘a’ 对应的 next 值为 3 ；
最后一个字符 ‘c’ ，提取 “abcaba” ，第一个字符 ‘a’ 和最后一个 ‘a’ 相同，相同个数为 1 ，1 + 1 = 2 ，所以 ‘c’ 对应的 next 值为 2 ；
所以，字符串 “abcabac” 对应的 next 数组中的值为（0,1,1,1,2,3,2）。
上边求值过程中，每次都需要判断字符串头部和尾部相同字符的个数，而在编写算法实现时，对于某个字符来说，可以借用前一个字符的判断结果，计算当前字符对应的 next 值。

具体的算法如下：
模式串T为(下标从1开始)：“abcabac”
next数组(下标从1开始)： 01

第三个字符 ‘c’ ：由于前一个字符 ‘b’ 的 next 值为 1 ，取 T[1] = ‘a’ 和 ‘b’ 相比较，不相等，继续；由于 next[1] = 0，结束。 ‘c’
对应的 next 值为1；（只要循环到 next[1] = 0 ,该字符的 next 值都为 1 ）

模式串T为： “abcabac”
next数组(下标从1开始)：011

第四个字符 ’a‘ ：由于前一个字符 ‘c’ 的 next 值为 1 ，取 T[1] = ‘a’ 和 ‘c’ 相比较，不相等，继续；
由于 next[1] = 0 ，结束。‘a’ 对应的 next 值为 1 ；

模式串T为： “abcabac”
next数组(下标从1开始)：0111

第五个字符 ’b’ ：由于前一个字符 ‘a’ 的 next 值为 1 ，取 T[1] = ‘a’ 和 ‘a’ 相比较，相等，结束。
‘b’ 对应的 next 值为：1(前一个字符 ‘a’ 的 next 值) + 1 = 2 ；

模式串T为： “abcabac”
next数组(下标从1开始)：01112

第六个字符 ‘a’ ：由于前一个字符 ‘b’ 的 next 值为 2，取 T[2] = ‘b’ 和 ‘b’ 相比较，相等，所以结束。
‘a’ 对应的 next 值为：2 (前一个字符 ‘b’ 的 next 值) + 1 = 3 ；

模式串T为： “abcabac”
next数组(下标从1开始)：011123

第七个字符 ‘c’ ：由于前一个字符 ‘a’ 的 next 值为 3 ，取 T[3] = ‘c’ 和 ‘a’ 相比较，不相等，继续；
由于 next[3] = 1 ，所以取 T[1] = ‘a’ 和 ‘a’ 比较，相等，结束。‘a’ 对应的 next 值为：1 ( next[3] 的值) + 1 = 2 ；

模式串T为： “abcabac”
next数组(下标从1开始)：0111232

算法实现：

void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i

注意：在此程序中，next 数组使用的下标初始值为 1 ，next[0] 没有用到（也可以存放 next 数组的长度）。
而串的存储是从数组的下标 0 开始的，所以程序中为 T[i-1] 和 T[j-1]。

基于next的KMP算法的实现

先看一下 KMP 算法运行流程（假设主串：ababcabcacbab，模式串：abcac）。

第一次匹配：

image.png

匹配失败，i 指针不动，j = 1（字符‘c’的next值）;

第二次匹配：

image.png

相等，继续，直到：

image.png

匹配失败，i 不动，j = 2 （ j 指向的字符 ‘c’ 的 next 值）;

第三次匹配：

image.png

相等，i 和 j 后移，最终匹配成功。

使用普通算法，需要匹配 6 次；而使用 KMP 算法，则只匹配 3 次。

实现代码：

int KMP(char * S,char * T){
    int next[10];
    Next(T,next);//根据模式串T,初始化next数组
    int i=1;
    int j=1;
    while (i<=strlen(S)&&j<=strlen(T)) {
        //j==0:代表模式串的第一个字符就和指针i指向的字符不相等；S[i-1]==T[j-1],如果对应位置字符相等，两种情况下，指向当前测试的两个指针下标i和j都向后移
        if (j==0 || S[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=next[j];//如果测试的两个字符不相等，i不动，j变为当前测试字符串的next值
        }
    }
    if (j>strlen(T)) {//如果条件为真，说明匹配成功
        return i-(int)strlen(T);
    }
    return -1;
}

代码整合

#include 
#include 
void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (istrlen(T)) {//如果条件为真，说明匹配成功
        return i-(int)strlen(T);
    }
    return -1;
}

int main() {
    int i=KMP("ababcabcacbab","abcac");
    printf("%d",i);
    return 0;
}

image.png

升级版的next

注意：KMP 算法的关键在于 next 数组的确定，其实对于上边的KMP算法中的next数组，不是最精简的，还可以简化。

例如：

模式串T：a b c a c
    next  ：0 1 1 1 2

在模式串“abcac”中，有两个字符 ‘a’，我们假设第一个为 a1，第二个为 a2。在程序匹配过程中，如果 j 指针指向 a2 时匹配失败，那么此时，主串中的 i 指针不动，j 指针指向 a1 ，很明显，由于 a1==a2，而 a2！=S[i]，所以 a1 也肯定不等于 S[i]。

为了避免不必要的判断，需要对 next 数组进行精简，对于“abcac”这个模式串来说，由于 T[4] == T[next[4]] ，所以，可以将next数组改为：

模式串T：a b c a c
    next  ：0 1 1 0 2

这样简化，如果匹配过程中由于 a2 匹配失败，那么也不用再判断 a1 是否匹配，因为肯定不可能，所以直接绕过 a1，进行下一步。

实现代码：

void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i

使用精简过后的 next 数组在解决例如模式串为“aaaaaaab”这类的问题上，会减少很多不必要的判断次数，提高了KMP算法的效率。

例如：精简前为 next1，精简后为 next2：

模式串：a a a a a a a b
  next1：0 1 2 3 4 5 6 7
  next2：0 0 0 0 0 0 0 7

总结

KMP 算法，之所以比 BF 算法快的根本原因在于：KMP 算法其实也和 BF 算法一样，都是从主串开头开始匹配，但是在匹配过程中，KMP算法记录了一些必要的信息。根据这些信息，在后续的匹配过程中，跳过了一些无意义的匹配过程。