数论四大定理之欧拉定理

本文分为两个部分，第一部分介绍欧拉定理的证明，第二部分介绍欧拉函数的求法。

欧拉函数

欧拉函数是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

欧拉定理

对于任意互素的，有

一、欧拉定理的证明

记小于 n 且与 n 互质的正整数集合为

令



由最大公约数的性质可得
所以 S 中所有元素都与 n 互质，且都小于 n。
又 S 中无重复元素
假设

，矛盾！

二、欧拉函数的求法

2. 如果 n 是质数，则 。
   因为质数与小于它的每一个正整数都互质。
3. 如果，则，这是因为只要当一个数不包含因子 p 时，就能与互质。而小于等于 n 包含质数 p 的数一共有个，即，把它们去除，剩下的就是与互质的数。
   上式也可以写作：
4. ，而且互质，有（欧拉函数是积性函数）
   这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果
   a (a < p) 与 p 互质，b (b < q) 与 q 互质，c (c < pq) 与 pq 互质，则 c 与数对 (a , b) 是一一对应关系。由于 a 的值有种可能，b 的值有种可能，则数对 (a , b) 有种可能，而 c 的值有种可能，所以
5. 通式，因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
   
   由4可得
   再由3可得