彩票中的数学期望

前段时间读了一本书《数学之美》，看完后对这本书赞叹不已。翻译，搜索，语音识别等等看起来高大上的计算机科学，背后离不开数学的支持。而这些数学知识并没有想象中那么复杂，反而通俗易懂。

不过要想读懂这本书，一些数学的基础知识还是要思路清晰的。其中涉及最多的知识是概率论。所以我想用几篇文章梳理一下概率论的知识。

为了更好的表述，我们以生活中的彩票为例，探究一下彩票中的数学知识。

先看一个简单的小例子：

商场同时举办两场抽奖活动，两场抽奖的中奖率都是30%，第一场奖金500元，第二场奖金1000元，只能参加一场活动，请问如何参加？

这个问题，傻子都知道，会去第二场(中奖率一样，肯定去钱多的啊)。

那，如果第一场的中奖率是50%呢？

这个问题就有些复杂了，一个是高几率低收益，一个是低几率高收益，没办法直接比较。这时候，数学中有一个非常实用的概念，可以帮助我们决策，它就是数学期望。

数学期望是一个反映“均值”的概念，以第一场活动为例，50%的几率得到500元，50%的几率什么也得不到。我们实际上需要知道的是平均玩一场可以得到多少钱。

既然是平均，我们可以假设玩了场游戏，用总钱数除以，就可以知道平均每场得多少钱了。

根据概率可知，大约有场游戏得了元，场游戏不得钱，总计， 除以游戏场次，平均每一局的收益为。

我们发现在计算过程中，游戏的场次N被约掉了，并没有发挥作用。那是不是有更简单的计算方法呢。这就是我们要说的数学期望公式。

等式左边的E是我们要求的数学期望，他反映了一个独立随机事件在大量试验下的平均值。右边是个求和公式，每一项都是该事件的数值乘以该事件的概率
上面的问题用数学期望公式可以写成：

和前面的结果完全一样。因为我们要计算的是收益的数学期望，所以公式中的数值就是收益。 其他场景，这个数值就不一定是收益了。比如我们想计算运动消耗能量的数学期望，就要把卡路里带入到公式中了。

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接下来，我们进入正题，聊一聊彩票。
全世界都有不少彩迷朋友，或为了消遣，或为了赚钱，热衷于购买彩票。这些人群中，也出现了所谓的“专家”，提出了一些选彩理论，只要你搜索一下，就能看到这些专家提出的各种“学术用语”，冷号，热号，大号，小号，连号，倍投，守号，令人应接不暇。

要是信了他们，就完蛋了。所有宣传彩票技巧的，100%都是骗子

这个道理很简单，每一次开奖都是独立事件。何为独立事件，就是说，每一次事件都和之前的事件毫无关联。这个道理想想就明白。摇奖的机器又没有记忆力，怎么可能参考之前的结果呢。

独立事件听起来很好理解，但是在生活中很多人都会犯错，比如一枚硬币连续9次抛掷都是正面朝上，有人会认为第10次反面朝上的概率大。这其实是不正确的， 第十次反面朝上的概率依然是50%。

Tips：生活中做出判断时，一定要认清楚什么是独立事件，比如一张试卷上选择题的答案并不是独立事件。这是因为出题老师会刻意让选项分布平均，如果你连续5题选了C，第六题拿不准主意的时候，尽量不要蒙C

回到彩票的问题，我们姑且认为彩票的摇奖机是公平公正的，那么没每次买彩票就是独立事件。 又因为彩票的规则是确定的，每次中奖事件的概率分布是一样的。那么我们就可以用数学期望公式来计算买彩票的预期收益。

我们先假设一种彩票类型，分为5个奖项，每个奖项的金额和中奖概率用下面的表格表示:

	一等奖	二等奖	三等奖	四等奖	五等奖
中奖金额	500万	10万	3000	200	5
中奖概率

那么小明购买一注彩票的平均收益为：

而一注彩票的价格一般是2元，也就是说小明每买一注彩票，平均亏损0.65元。

上面的例子其实已经算比较良心了，笔者研究过数十种不同类型的彩票，大部分的数学期望在1元左右，也就是说要抽走你一般的购彩资金。感兴趣的读者可以自行计算。

那是不是说我们应该坚决抵制彩票呢，我觉得大可不必。这篇文章只是告诉你买可以通过数学期望来估算彩票的收益，虽然你肯定是亏的，但在这个过程中你还可以收获别的东西。比如收获一份小期待啊，比如收获和其他彩民交流的乐趣啊，从这个角度一想，亏的那点钱反而不重要了。

但是，千万不要把它当做赚钱的手段，尤其不要相信什么彩票达人的话，如果你投入大量的资金，那就不再是小买怡情了， 亏得倾家荡产的例子比比皆是。