信号与系统笔记

信号与系统笔记

author:何伟宝

[TOC]

---

序列

---

序列的表示5e 4

1. 图形:

   
   
   

   tu

2. 函数解析式:
   

3. 列表表示:
   
   其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)

序列的变换

1. 序列的平移

   
   
   

   yanshi

用表达式的写法就是:

2. 序列的反转

   
   
   

   fanzhuan

用表达式的写法就是:

3. 序列的尺度变换

   
   
   

   chidubianhuan

压缩时:

展宽时:

实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.

序列运算

1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前

4. 相加和相乘
   
   

5. 差分
   a.前向差分:
   
   b.后向差分
   

6. 求和
   
   举个比较重要的例子:
   

7. 卷积和

连续上:

离散上:

计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加

8. 相关
   连续上:
   
   离散上:
   
   举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
   

几个较为重要的序列

单位脉冲序列

单位阶跃序列

上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:

单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:

值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:

当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成...

矩形序列

DTFT(Discrete-time Fourier Transform)

定义

DTFT:

iDTFT:

举个例子:考虑单边信号的DTFT:

最后一步由底数小于1的等比数列求和得到

性质

较多,故不作证明

1. 周期性
   
2. 线性性质
   
3. 时移与频移
   
   
4. 共轭与共轭对称性
   因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下

如果有

则序列的共轭有:

在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:

所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数

5. 差分与累加
   
   实际上,考虑信号:
   他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
   

6. 时间反转
   

7. 时域扩展
   

8. 频域微分
   

9. 帕斯瓦尔定理
   

10. 卷积性质相乘性质

对于有:

当考虑时,有:

11. 对偶性
    当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧

Z变换

定义

性质

1. 线性性质
   

2. 时移性质
   

3. z域尺度变换
   

4. 时间反转
   

5. 时域扩展
   

6. 共轭
   如果有
   
   则序列的共轭有:
   

7. 卷积性质

8. 频域微分
   
9. 初值定理
   当n<0时,x[n]=0,则
   
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
    a.稳定性:极点在单位圆里面
    b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点

系统

在上面的基础上,这里就只做简述吧

系统的特性

针对线性移不变系统,其中线性有:

1. 其次性
2. 叠加性
   移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
3. 稳定性
   
4. 因果性
   
   相应用z变换判断的在上头

系统的表示

1. 框图
2. 差分方程
3. 系统单位脉冲响应h[k]
4. 系统频率响应
5. 系统函数H(z)

相应的转换关系:

1. 差分方程to系统函数:
   已知差分方程:
   
   对其求z变换得:
   
   所以系统函数为:
   

2. 系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
   

3. 系统函数to系统频率响应
   对因果系统,且系统稳定时:
   

4. 系统函数to框图

   1. 先将系统函数化成零极点形式
   2. 按照零点系数和阶数画前馈通路
   3. 按照极点系数和阶数画后馈通路

已知未完善地方

1. z变换本身的性质写得不多
2. 没介绍模拟的奇异信号及其性质