上一篇文章树 Tree 基本信息及实现介绍了 Tree 的基本信息，一个节点可以有多个子节点。二叉树（Binary Tree）每个节点至多有两个子节点，被称为左子树（left）、右子树（right）。
二叉树是很多树结构和算法的基础。这篇文章将实现一个二叉树，并介绍三种常见的遍历算法。
1. 实现一个二叉树
在 playground 中添加一个文件，名称为BinaryNode.swift。其中代码如下：
public class BinaryNode {
public var value: Element
public var leftChild: BinaryNode?
public var rightChild: BinaryNode?
public init(value: Element) {
self.value = value
}
}
在 playground page 添加以下代码：
var tree: BinaryNode = {
let zero = BinaryNode(value: 0)
let one = BinaryNode(value: 1)
let five = BinaryNode(value: 5)
let seven = BinaryNode(value: 7)
let eight = BinaryNode(value: 8)
let nine = BinaryNode(value: 9)
seven.leftChild = one
one.leftChild = zero
one.rightChild = five
seven.rightChild = nine
nine.leftChild = eight
return seven
}()
上述代码定义的 binary tree 如下所示：
建立树数据结构模型对理解树非常有帮助。为此，实现了二叉树
description方法，以便在控制台可视化二叉树。你可以在源码中获取其具体实现。
打印二叉树后，控制台输出如下：
--- Example of tree diagram ---
┌──nil
┌──9
│ └──8
7
│ ┌──5
└──1
└──0
2. 遍历算法
树 Tree 基本信息及实现介绍了层序遍历，对该算法稍作调整，即可用于二叉树。这里不会重新实现层序遍历，而是介绍中序、前序、后续三种遍历算法。
2.1 中序遍历 In-order traversal
中序遍历从根节点开始，按照以下顺序遍历：
- 如果当前节点有左子树，先递归访问左子树。
- 访问当前节点。
- 如果当前节点有右子树，递归访问右子树。
下图是中序遍历顺序示意图：
使用中序遍历上述二叉树时，节点按照升序顺序输出。如果节点按照一定规则排布，in-order traversal 会以升序顺序访问节点，下一篇文章二叉搜索树将会介绍这些内容。
添加以下中序遍历代码：
/// 中序遍历
public func traversalInOrder(visit: (Element) -> Void) {
leftChild?.traversalInOrder(visit: visit)
visit(value)
rightChild?.traversalInOrder(visit: visit)
}
先查找到最左节点，再访问其值，最后遍历最右节点。
使用以下代码进行中序遍历：
example(of: "in-order traversal") {
tree.traversalInOrder(visit: {
print($0)
})
}
控制台输出如下：
--- Example of in-order traversal ---
0
1
5
7
8
9
2.2 前序遍历 Pre-order traversal
前序遍历先访问当前节点，再递归访问左子树、右子树。
前序遍历算法如下：
/// 前序遍历
public func traversalPreOrder(visit: (Element) -> Void) {
visit(value)
leftChild?.traversalPreOrder(visit: visit)
rightChild?.traversalPreOrder(visit: visit)
}
运行后输出如下：
--- Example of pre-order traversal ---
7
1
0
5
9
8
2.3 后续遍历 Post-order traversal
后续遍历先递归遍历左子树、右子树，最后访问当前节点。
也就是先访问子节点，后访问自身。根节点永远是最后访问的节点。
后序遍历算法如下：
/// 后序遍历
public func traversalPostOrder(visit: (Element) -> Void) {
leftChild?.traversalPostOrder(visit: visit)
rightChild?.traversalPostOrder(visit: visit)
visit(value)
}
使用后序遍历控制台输出如下：
--- Example of post-order traversal ---
0
5
1
8
9
7
二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历时间复杂度、空间复杂度都是O(n)。二叉树通过在插入时增加一些规则，可以使中序遍历按照升序输出。下一篇文章二叉搜索树将更进一步介绍这些内容。
3. 二叉树算法题
3.1 二叉树高度
给定一个二叉树，计算它的高度。
二叉树的高度为根节点到最远叶子节点的距离。如果只有一个节点，则高度为零。因为它既是根节点，又是叶子节点。
算法如下：
func height(of node: BinaryNode?) -> Int {
guard let node = node else { return -1 }
return 1 + max(height(of: node.leftChild), height(of: node.rightChild))
}
3.2 二叉树的序列化与反序列化
序列化是将一个数据结构或者对象转换为连续比特位的操作，进而可以将转换后的数据存储在文件、内存中，同时可通过网络传输到其他计算机。通过相反的方式（即反序列化）可以得到原数据。
常用序列化的地方就是 JSON 转换。你的任务就是将二叉树序列化为数组，并将数组反序列化为之前的二叉树。
二叉树的序列化本质上是对其值进行编码，更重要的是对其结构进行编码。通过遍历树来进行序列化，有两种遍历策略：
- 广度优先（Breadth First Traversal，简写为 BFT）：按照层次的顺序从上到下遍历所有节点。
- 深度优先（Depth First Traversal，简写为 DFT）：从根节点开始，一直延伸到某个叶子节点，然后回到根节点，再遍历另一个分支。根据其相对顺序，可以将 DFT 进一步分为：
- 前序遍历
- 中序遍历
- 后序遍历
假设有以下二叉树：
1
/ \
2 5
/ \
3 4
使用前序遍历的方式序列化该二叉树，如下所示：
从根节点1开始，然后跳到根节点的左子树2，然后跳到2的左子树3，然后查看3的左右子树是否存在，然后跳到2的右子树4。最终。序列化数组为[1, 2, 3, nil, nil, 4, nil, nil, 5, nil, nil]。
即序列化二叉树时，遇到空节点序列为为nil，否则继续递归序列化。
3.2.1 先序遍历
为BinaryNode添加以下方法：
/// 前序遍历二叉树，会遍历空节点。
public func traversePreOrder(visit: (Element?) -> Void) {
visit(value)
if let leftChild = leftChild {
leftChild.traversePreOrder(visit: visit)
} else {
visit(nil)
}
if let rightChild = rightChild {
rightChild.traversePreOrder(visit: visit)
} else {
visit(nil)
}
}
上述方法遍历节点的每一个 node，所以它的时间复杂度是O(n)。
3.2.2 序列化
序列化时访问每一个节点，并将其添加到数组。数组元素为T?类型，因为其可能为nil。序列化方法如下：
/// 序列化二叉树
func serialize(_ node: BinaryNode) -> [T?] {
var array: [T?] = []
node.traversePreOrder(visit: {
array.append($0)
})
return array
}
该算法时间复杂度为O(n)。由于需要创建一个数组容纳所有元素，该算法空间复杂度为O(n)。
3.2.3 反序列化
序列化时使用前序遍历，将值放入数组。反序列化时将值从数组中取出，重新组装为二叉树。
反序列化算法如下：
/// 反序列化
func deserialize(_ array: inout [T?]) -> BinaryNode? {
// value 为空时表示节点没有子树，递归结束。
guard let value = array.removeFirst() else { return nil }
// 使用 value 创建节点，并设置左子树、右子树。
let node = BinaryNode(value: value)
node.leftChild = deserialize(&array)
node.rightChild = deserialize(&array)
return node
}
inout表示可以在函数内修改数组元素，这样允许递归调用时修改数组，并获得修改后的数组。
对二叉树先序列化，再反序列化后，打印二叉树。如下所示：
print(tree)
var array = serialize(tree)
if let node = deserialize(&array) {
print(node)
}
控制台输出如下：
┌──nil
┌──9
│ └──8
7
│ ┌──5
└──1
└──0
┌──nil
┌──9
│ └──8
7
│ ┌──5
└──1
└──0
经序列化、反序列化操作后，二叉树没有发生变化。
由于每次移除数组元素都调用了removeFirst()，反序列化算法时间复杂度为O(n²)。
可以在反序列化开始前先反转数组，需要移除元素时，使用removeLast()即可。由于removeLast()的复杂度为O(1)，可以让整个算法时间复杂度降低到O(n)。由于需要反转数组，它的空间复杂度为O(n)。
你可以自行优化下反序列化，如果遇到问题，可以在文章底部获取源码查看。
总结
二叉树是很多重要数据结构的基础。例如，二叉搜索树（Binary Search Tree，简写为 BST）和平衡二叉树（AVL）。前序遍历、中序遍历、后序遍历不仅对二叉树很重要，处理其它类型树时也会频繁使用。
Demo名称：BinaryTree
源码地址：https://github.com/pro648/BasicDemos-iOS/tree/master/BinaryTree
欢迎更多指正：https://github.com/pro648/tips
本文地址：https://github.com/pro648/tips/blob/master/sources/二叉树%20Binary%20Tree.md