概率论（二）：随机变量及其分布

随机变量

设随机试验的样本空间为{e}.是定义在样本空间上的实值单值函数。称为随机变量。

离散型随机变量及其分布律

当随机变量的值为有限个或可列无限个时，此时随机变量称为离散型随机变量。假如离散型随机变量的所有可能取值为,取各个可能值的概率，即事件{}的概率，为:,，此概率公式称为分布律
由之前概率的定义可知：

(0-1)分布

当随机变量只可能取0与1两个值时，它的分布律是：,称服从以为参数的（0-1）分布或两点分布

伯努利试验与二项分布

如果试验只有两个可能结果：与，则说是伯努利试验，设为发生的概率。
进一步，如果将伯努利试验独立重复进行次，则说这一串独立试验为重伯努利试验。
设表示重伯努利试验中事件发生的次数，此时为一个随机变量，则说服从参数为,的二项分布，记作:，分布律为：。当时，二项分布则变为两点分布。

泊松分布

设随机变量所有取值为，而取各个值的概率为：,为常数且大于零。X则是服从参数为的泊松分布，记作：

泊松定理：设是一个常数，是任意正整数，设,则对于任一固定的非负整数，有，也就是说以为参数的二项分布的概率值可由参数为的泊松分布概率值近似

随机变量的分布函数

设是一个随机变量，是任意实数，函数称为的分布函数。

• 是一个不减函数：
• ,即是右连续的
  
  

连续型随机变量及其概率密度

如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任意实数有,则称为连续型随机变量，函数称为的概率密度函数，简称概率密度

概率密度性质：

• 对于任意实数
• 若在点处连续，则有
  
  

均匀分布

若连续型随机变量具有概率密度，则称在区间上服从均匀分布，记作：
其分布函数为

指数分布

若连续型随机变量具有概率密度：,其中为常数，则称服从参数为的指数分布

其分布函数为：

无记忆性：

正态分布

若连续型随机变量具有概率密度：,其中为常数，则称随机变量服从参数为的正态分布或高斯分布，记作：
其分布函数为：

• 曲线关于对称：
• 当时，取到最大值：

当时称随机变量服从标准正态分布，概率密度为：，分布函数为：

• 线性变换：若，则
  
  

假如随机变量服从标准正态分布，若满足：，则点为标准正态分布的上位点