数据结构与算法之时间复杂度分析

复杂度分析，是所有数据结构与算法的重中之重，复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，可以说数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

问题一：为什么需要复杂度分析？
因为我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。和性能测试相比，复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。掌握复杂度分析，有助于编写出性能更优的代码，有利于降低维护成本。

---

菜来了：

T(n)=O(f(n))

其中
T(n) : 表示代码的执行时间；
n : 表示数据的规模大小；
f(n) : 标识代码执行次数总和，f代表公式；
O : 大O,表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达是成正比。

下面解释一下，所谓时间复杂度，假设每一行代码执行的就是单位时间unit,那么一段代码执行的总时间就表示为代码执行的总次数*unit。

再来看一个例子：

//是段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的和
private int sum(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

分析下这段代码的执行时间，第二第三行代码分别需要一个unit的执行时间，第五行代码执行了n次，所以需要n乘unit的执行时间，所以这段的代码的执行时间就是（n+2）*unit。可以看出来，代码的执行总时间T(n)与每行的代码的执行次数成正比。所以这个例子中的时间复杂度就是:
T(n)=O(n+2)

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

---

时间复杂度分析方法

要点提炼：
1.只需要关注代码执行次数最多的一段代码；所以，循环执行就是要着重关注的点。
2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。
3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。

1）单段代码看高频：比如循环。
2）多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
3）嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
4）多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加。

---

几种常见时间复杂度，分为多项式量级和非多项式量级。
1.#####多项式量级
-常量阶O(1)
-对数阶O(log n)
-线性阶O(n)
-线性对数阶O(nlog n)
-平方阶O(n^2)...
2.#####非多项式量级
-指数阶O(2^n)
-阶乘阶 O(n!)
当数据规模n越来越大是，非多项式的执行时间会指数级增长，求解问题的的时间会无限增长，所以，非多项式时间复杂度算法是非常低效，可以不用关注。

偷来的图片.jpg

---

几种常见的复杂度分析

1. O(1)
   O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

这个时间复杂度比较难分析，最典型的就是while循环，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2，得到多项式 2x=n，所以x=log2n,就是log以2为底n的对数。省略为x=log n，时间复杂度就是O(log n),O(nlogn)时间复杂度就是O(logn)循环执行n次，相当于再添加一个循环。

3. O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n的规模，所以不能简单利用加法法则，省略到其中一个，所以代码的时间复杂度就是O（m+n）。这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。

---

小结：复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法的执行效率与数据规模之间的增长关系，时间复杂度越低的算法执行效率越高。