空间点到空间直线的距离求解
求解步骤
- 已知直线上两点，根据空间直线的点向式方程求解
空间点：假设经过直线两点 A （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） A（x1，y1，z1） A（x1，y1，z1）, B ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) B(x2，y2，z2) B(x2，y2，z2)， s ⃗ ( m , n , p ) \vec{s}(m,n,p) s(m,n,p)为空间直线的方向向量，
则直线的方程可表示为：
x − x 1 m = y − y 1 n = z − z 1 p = t (1) \frac{x-x1}{m}=\frac{y-y1}{n}=\frac{z-z1}{p}=t \tag{1} mx−x1=ny−y1=pz−z1=t(1)
示意图如下所示：
2. 假设直线外存在一点 C ( x c , y c , z c ) C(xc,yc,zc) C(xc,yc,zc),c点在直线上的垂足坐标为 D ( x d , y d , z d ) D(xd,yd,zd) D(xd,yd,zd)
则 ：
x d − x 1 m = y d − y 1 n = z d − z 1 p = t (2) \frac{xd-x1}{m}=\frac{yd-y1}{n}=\frac{zd-z1}{p}=t \tag{2} mxd−x1=nyd−y1=pzd−z1=t(2)
{ x d = m t + x 1 y d = n t + y 1 z d = p t + z 1 (3) \left\{\begin{matrix} xd = mt+x1\\ yd = nt+y1\\ zd = pt+z1 \end{matrix}\right.\tag{3} ⎩⎨⎧xd=mt+x1yd=nt+y1zd=pt+z1(3)
3 由垂线方向的方向向量 ( x c − x d , y c − y d , z c − z d ) (xc-xd,yc-yd,zc-zd) (xc−xd,yc−yd,zc−zd)和直线方向的方向向量 ( m , n , p ) (m,n,p) (m,n,p)的数量积为零，可得
m ( x c − x d ) + n ( y c − y d ) + p ( z c − z d ) = 0 (4) m(xc-xd)+n(yc-yd)+p(zc-zd)=0\tag{4} m(xc−xd)+n(yc−yd)+p(zc−zd)=0(4)
由 ( 3 ) , ( 4 ) (3),(4) (3),(4)可得：
t = ( m ∗ ( x c − x 1 ) + n ∗ ( y c − y 1 ) + p ∗ ( z c − z 1 ) ) / ( m 2 + n 2 + p 2 ) (5) t = (m*(xc-x1)+n*(yc-y1)+p*(zc-z1))/(m^{2}+n^{2}+p^{2})\tag{5} t=(m∗(xc−x1)+n∗(yc−y1)+p∗(zc−z1))/(m2+n2+p2)(5)
4求点c到直线的距离
d = ( x c − x d ) 2 + ( y c − y d ) 2 + ( z c − z d ) 2 (6) d =\sqrt{(xc-xd)^{2}+(yc-yd)^{2}+(zc-zd)^{2}}\tag{6} d=(xc−xd)2+(yc−yd)2+(zc−zd)2(6)
将 ( 3 ) , ( 5 ) (3),(5) (3),(5)整合带入 ( 6 ) (6) (6)中即可算出d