AdS/CFT 的一点笔记

就和量子力学和广义相对论一样，AdS/CFT是理解很多其他工作的基础，而且它也提供了一个有趣也很用的供我们思考物理的图像。虽然没有做过直接相关的工作，但是倒是看过很多这方面的讲义或是书，但是有点像量子力学的初期阶段，只记住了各种各样的“事实”，却没有有一个完整的可以用来当做核心的框架，所以很多时候就只能是是而非的说上几句，又要温故而知新了。当然最经典的讲义是AGMOO99年的一个综述，差不多300页，Maldacena亲自参与。还有就是Ammon&Erdmenger 2015年编的教材，从场论，相对论讲起，到弦论，超弦最后AdS/CFT，再加上各种应用，可是说是无所不包了。看过这些东西，并不是看懂了多少，更多的意义是，以后遇到问题知道到那本书那页去寻找答案。
最喜欢的讲义是Jared Kaplan的“Lectures on AdS/CFT from the Bottom up”，这个from the Bottom up就是完全从场论，更确切地说是从有效场论的方面来理解。这个角度就回避了弦论，而且每一步计算都告诉你他在干什么，还有为什么这么算。给我的感觉就是Griffiths相对于量子力学。
这次又发现一个好的讲义by Veronika E. Hubeny。给我的感觉就是Feynman volume3相对于量子力学。而且Hubeny是和厉害的女物理系家啊。为什么这个很特别呢？因为作者的背景跟扎根于广义相对论而不是场论的，讲义里面一直倡导的就是：相对论是很漂亮，但是之前的只限于很小的研究圈子，只有一些相对论作家，宇宙学家或者少数天文学家在研究，其他人都有点爱答不理的。看吧，现在是相对论来帮助你们提供新方法了！管你是做场论，凝聚态，信息物理，全都给我好好学！

口号就是：隐藏在所有场论里的，不管是是弱还是强耦合，都是量子引力理论！

一点弦论

弦论值得让人惊叹的不是什么所有物质都是有一维的弦构成，弦理论有11维空间这种看似狂野的假设，而是弦论里面精巧的结构如何解决像量子化，强耦合，如何消除奇异性和如何从更深层的结构解释时空这些场论很难或是根本无法解释的问题的。比如关于强耦合，当耦合很强，也就是弦之间的相互作用很强，量子修正不可控的时候，弦论里面具有S-duality，就是说我们可以重新选取自由度，这时的物理不在描述基本弦而是一些D膜，这些D膜上的物理和之前等价，但是D膜之间只是弱相互作用，量子修正比较好控制了。这时我们可以引入一个新的参数：D膜的数量。当有很少的D膜放在一起的时候，我们忽律他们对时空的影响，单纯考虑D膜在平坦时空的动力学。D膜的动力学是由长在他们身的开弦还有在膜之间传递的闭弦来描述。当很多D膜重叠在一起的时候，就会弯曲时空成为类似于黑洞的结构。接下来考虑低能近似，在这个近似下，对于前一种情况，开弦与其他的自由度分离开来，开弦的动力学由4维平坦空间的规范场论描述；对于后一种情况我们相当于只考虑距离D膜很近处的几何结构，其他的自由度因为引力红移也不用考虑，这个近膜的几何结构就是5维的AdS 空间。一个很自然的猜想就是在D膜的个数和弦论耦合强度取值在某些区域的时候，以上两种描述都成立，我们想象成这个规范场论的理论存在于AdS的边界上。这就是Maldcena的AdS/CFT猜想。这个猜想已经经过了很多不同方面的验证，虽然还没有一个严格的证明，但是越来越多对之的态度不再是“这个猜想正确吗？”而是“怎么去理解这个猜想？”还有“怎么应用这个猜想？”

一个现代的非弦论的理解

一个自然的想法是从表示论来看，引力子是一个自旋为2，那么它可能是两个自旋为1的规范场粒子构成的。但是这个想法很容易就被Weinberg-Witten no-go理论打破。但是全息的原理建议说，这个引力子是存在更高一维的空间的，这就躲过了no-go原理。所以我们的全息规范场论要能表述引力，需要存在额外一个“维度”：一个影响场论行为的局域的量。在场论里一个这样的量是能标。因为重整化的原因，在不同的能量标准下，场论会发生改变。
然后想要这个额外的维数是宏观的，而且从我们对场论的经验里得知低耦合的场论微扰理论是无论如何也不能来描述引力的，所以我们就需要这个规范场论在打一个能区里面都是有强相互作用。用共形场论就可以很容易达到这一点，因为共形场论的是不随能标发生变化的，这样我们可以在所有能标下具有强耦合。增加的维数的同时，我们同时增加了自由度，为了克服这个问题，我们就要考虑一个具有很多自由度的共形场论，也就是要取所谓的‘t Hooft极限。
一个强耦合的场论又是不可控的，这让我们很难进行研究。我们可以引入超对称来解决这个技术问题。共形场论具有共形对称性，当我们同时改变空间尺度和能量尺度，这个理论应该不变，满足这个条件的最一般的几何就是AdS空间，这样我们就可以把能量的倒数当做AdS的径向空间。这样，我们就有了一个初步的AdS/CFT的对应了。但是因为引入了超对称，场论就有了额外的超对称粒子自旋为0的粒子。这些粒子对应了更多额外的维度，这就恰好印证了超弦理论的10维空间的要求。

AdS/CFT 物理图像

比起严格的证明这个猜想，更重要的是我们要知道怎样从一个图景的物理量得到另一个图景的物理量。

在场论里面满足所有对称性的态是真空态，这就对应了纯的AdS空间。如果我们考虑激发态，一些对称性会被破坏，相对应几何空间也应该是被扰动的AdS。当这个激发态能量很小的时候，我们还是忽律这个扰动，这激发态可以对应于在纯AdS空间传播的一些场。比如我们考虑在AdS空间里一个粒子因为负曲率向空间中心滑入，这个过程在规范场论表述为一个局域 激发的扩散。
这些在引力空间里的场要满足由这个激发态确定的边界条件。
给定AdS空间量子引力理论的边界条件，理论的路径积分就是相当于这个边界条件的一个函数。在边界上，这个路基积分相当于场论的带有源的配分函数。这个源和边界条件有一个一一对应。有了配分函数，我们就可以在场论里求得所有的关联函数。在引力理论里，我们可以想象这些关联函数是通过AdS空间联系起来的。比如对于2点的关联函数，我们近似对应为连接这两点的AdS空间的测地线表示下的Green函数。规范场里一个非局域的可观测量是Wilson loop，这个loop可以描述场论电荷之间的作用势能，有一个很复杂的表达。但是在引力里，这个loop对应了由这个loop对应的弦划过的2维曲面。除了常规的可观测量。还可以考察场论一个子边界空间与其补边界空间的纠缠熵。这个纠缠熵对应了以这个子空间为边界的在AdS空间里面的一个测点面。

如果我们考虑更高的激发态，那么就需要考虑对AdS空间的改变了。这时高能量的激发态就再简单对应一个AdS空间的试探粒子，而是对应了一些弯曲时空的D膜。

当能量再高，高到相当于把所有可能的自由度都激发起来，那么可以对应到AdS空间里更复杂的几何。这时如果考虑一个统计样本而不是一个纯的量子态，那么对应就对应了AdS空间中的黑洞。场论里一个偏离热平衡的激发回复热平衡的过程就可以描述为一个粒子调入黑洞的过程。

一些remarks

1. 因为AdS空间的径向对应了场论的能标，所以场论里高能对应了AdS空间的无穷远，也就是一个UV和IR对应。比如场论里一个高能截断相当于在AdS空间的r很大处放一个截断。
2. 因果关系。我们要确保这个对应不会破会AdS空间和场论的因果关系。可以想象对于存在边界的场论能不能通过AdS空间超近路，从而破坏边界的因果关系。有一些计算和论证证明不会。再比如考虑在AdS空间向中心先后释放两个粒子，如果间隔时间足够长，那么后释放的粒子就不会影响第一个粒子轨迹。但是在场论里面，这个过程相当于两个局域激发的扩散过程，很容易想象他们是会互相影响的。解决这个问题，我们要考虑这些粒子产生的引力作用了。
3. AdS空间里一个质量壳的塌缩过程可以对应到场论空间的quantum quench：就是一个瞬时的对系统的改变。
4. 我们一直说的AdS空间，是弦论的一个边界条件，只是要空间在无穷远处是一个AdS空间，不同的空间对应了场论里面不同的态。
5. 推广都更普遍的规范场引力对应，而不局限于共形规范场和AdS空间。这个用有效场理论来理解比较方便。一般的量子场论可以想象场对共形场论空间的扰动而形成的一个有效场论，那么我们就自然的用其他的弦论的边间条件确定的空间来描述。
6. 很多真正的应用在QCD,凝聚态还有流体力学的例子就不说了。