离散数学之命题逻辑

一.五个联结词

否定

合取

析取

蕴含

等价

1.文氏图分析

2.对于蕴含关系，只需要记住，只有前件为真后件为假，命题方为假

二.命题公式与真值表

1.真值表列表方法，左元素，右命题公式

2.基本等价关系*

    这些等价关系将帮助我们在后面的内容中，用于简化公式为主合取（析取）公式

    故最重要的内容是

德摩根律

蕴含式

等价式

常用的方法还有

双重否定

等价否定

假言异位

用于处理否定情况。

3.几个重要的定理

3.1永真充要等价

3.2带入定理

3.3替换定理

三个定理主要用于等价代换。

四.完备集

将公式中联结词种类数压缩到最小。

典型：布尔代数系统。

五.标准型范式

析取式并

合取式交

析取合取范式中只含有析取式或合取式

极小项：命题变元由合取联结

极大项：命题变元由析取联结

每个命题变元，只存在其本身或其否的情况中的一种，故每个命题均有2ⁿ个极大项与极小项。

又因为极小项析取联结，故由相同命题变元组成的极小项集合中，任何两个极小项都不等价。（要清楚等价的概念，就是两个极小项至少有一个变元互相取否，所以一定在某个取值下，真值不同）

同样，我们可以知道，

所有极小项的析取为永真公式（必有一极小项为真）

所有极大项的合取为永假公式（必有一极大项为假如全否的极大项为真，全真的极大项必为假）

主合取范式：外析取内合取

主析取范式：外合取内析取

求法：

1.外部有蕴含联结词，蕴含式转为析取

2.用德摩根律将内部的合取析取按需求转化

3.真值表技术

其中，分解式每个变元取肠取否与变元真假有关。列出真值表

列出子公式分解表，由于主取公式永真或者永假。

极小项分解表，取仅有一组解释为真的情况，做析取。

极大项分解表，取仅有一组解释为假的情况，做合取。

以上其实就是映射。表3.5.4

六.公式转换永真永假