信号与系统-绪论

信号与系统的概念

什么是信号处理？

对信号进行某种加工或变换，其目的是：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者是将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。

什么是系统？

广义讲，它设计的范围十分广泛，不仅限于电路、通信和控制方面，还应包括各种物理系统和非物理系统、人工系统以及自然系统。

信号的描述、分类和典型示例

信号的描述

描述信号的方式：

• 数学表达式
• 函数图像
• 变换域表示
• 分配函数

信号的分类

信号可以从不同的角度进行分类：

• 确定性信号与随机信号
  • 确定性信号：信号被表示为一确定的时间函数，对于某一时刻，可确定一相应的函数值
  • 随机信号：不能给出确切的时间函数，只可能直到它的统计特性
• 周期与非周期信号
  • 周期信号：依一定的时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号
  • 非周期信号：时间上不具备周而复始的特性
• 连续时间信号与离散时间信号
  • 连续时间信号：时间函数取值具有连续性
  • 离散时间信号：时间函数取值具有离散性
• 一维信号与多维信号
  • 一维信号：一个变量的函数，如语音信号可表示为声压随时间变化的函数
  • 多维信号：多个变量的函数，如黑白图像每个像素不同的光强度

典型信号

常见的信号有：

• 指数信号

$$f(t)=K{e}^{at}$$

• 正弦信号

$$f(t)=Ksin(wt+\theta )$$

• 复指数信号

$$\begin{gathered} f(t)=K{e}^{st} \\ s=\sigma +j\omega \end{gathered}$$

• 抽样信号

$$Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}$$

• 钟形信号（高斯函数）

$$f(t)=E{e}^{-(\frac{t}{\tau }{)}^2}$$

信号的运算

信号常见的运算包括：

• 移位、反褶和尺度
• 微分和积分
• 相加或相乘

阶跃信号与冲激信号

本身具有不连续点或其导数与积分有不连续点的函数，通常被称为奇异函数。常见的奇异函数包括：

• 单位斜变信号

$$f(t)=\{\begin{array}{r}0(t<0)\\ t(t\ge 0)\end{array}$$

• 单位阶跃信号

$$u(t)=\{\begin{array}{r}0(t<0)\\ 1(t>0)\end{array}$$

• 单位冲激信号

$$\delta (t)=\underset{\tau \to 0}{\lim }\frac{1}{\tau }\left[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{t}{2})\right]$$

当然除了上述的定义外，狄拉克给出冲激函数的另一种定义方式：
$$\{\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1\\ & \\ & \delta (t)=0(当t\ne 0)\end{array}$$

冲激函数有三个重要的性质：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(t)dt=f(0)$$

$$\delta (t)=\delta (-t)$$

$$\delta (at)=\frac{1}{a}\delta (t)$$

• 冲击偶信号

冲激偶信号是冲激函数的微分，是呈现正、负极性的一对冲激，它有两个重要的性质：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{{}^{\prime }}(t)f(t)dt=-f^{{}^{\prime }}(0)$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=0$$

信号的分解

信号可以从不同的角度进行分解：

• 直流分量与交流分量
• 偶分量与奇分量
• 脉冲分量
• 实部分量与虚部分量
• 正交函数分量
• 利用分形理论描述信号

系统模型及分类

系统模型的表达形式：

• 数学表达式
• 方框图

数学模型的差异下系统的分类：

• 连续时间系统与离散时间系统、
  • 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统
  • 系统的输入与输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统
• 即时系统与动态系统
  • 如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关，则称此系统为即时系统
  • 如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，这种系统称为动态系统
• 集总参数系统与分布参数系统
  • 只由集总参数原件组成的系统称为集总参数系统，用常微分方程作为它的数学模型
  • 含有分布参数元件的系统是分布参数系统，用偏微分方程作为它的数学模型
• 线性系统与非线性系统
  • 具有叠加性与均匀性的系统称为线性系统
  • 不满足叠加性或均匀性的系统称为非线性系统
• 时变系统与时不变系统
  • 如果系统的参数不随时间而变化，则称此系统为时不变系统
  • 如果系统的参数随时间改变，则称其为时变系统
• 可逆系统与不可逆系统
  • 若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统
  • 若系统在不同的激励信号作用下存在产生相同的响应，则称此系统为不可逆系统
• 因果系统与非因果系统
  • 系统在当前时刻的响应只与当前时刻及之前的输入有关，则称此系统为因果系统
  • 系统在当前时刻的响应不只与当前时刻及之前的输入有关，则称此系统为非因果系统
• 稳定系统与非稳定系统
  • 如果系统的输入有界时，产生的输出也是有界的，则称此系统是稳定系统
  • 如果系统的输入有界时，产生的输出不是有界的，则称此系统是非稳定系统

线性时不变系统

系统特性：

• 叠加性与均匀性
• 时不变特性
• 微分特性
• 因果性

LTI系统分析方法

系统的数学描述方法：

• 输入-输出描述法
• 状态变量描述法

系统数学模型的求解方法：

• 时间域方法
• 变换域方法

扩展

如何将一个信号表示为脉冲分量之和？
$$\begin{array}{rl}f(t)& \approx \sum _{t_1=-\infty }^{\infty }f(t_1)[u(t-t_1)-u(t-t_1-△t_1)]\\ & =\sum _{t_1=-\infty }^{\infty }f(t_1)\frac{[u(t-t_1)-u(t-t_1-△t_1)]}{△t_1}\cdot △t_1\\ & ={lim}_{△t_1\to 0}\sum _{t_1=-\infty }^{\infty }f(t_1)\delta (t-t_1)△t_1\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t_1)\delta (t-t_1)d{t}_1\end{array}$$
如何将一个信号表示为阶跃信号之和？（假定t<0时，f(t)=0）
$$\begin{array}{rl}f(t)& =f(0)u(t)+\sum _{t_1=△t_1}^{\infty }[f(t_1)-f(t_1-△t_1)]u(t-t_1)\\ & =f(0)u(t)+\sum _{t_1=△t_1}^{\infty }\frac{[f(t_1)-f(t_1-△t_1)]}{△t_1}u(t-t_1)△t_1\\ & =f(0)u(t)+{\int }_0^{\infty }\frac{df(t_1)}{d{t}_1}u(t-t_1)d{t}_1\end{array}$$