信号与系统-绪论

信号与系统的概念

什么是信号处理?

对信号进行某种加工或变换,其目的是:削弱信号中的多余内容;滤除混杂的噪声和干扰;或者是将信号变换成容易分析与识别的形式,便于估计和选择它的特征参量。

什么是系统?

广义讲,它设计的范围十分广泛,不仅限于电路、通信和控制方面,还应包括各种物理系统和非物理系统、人工系统以及自然系统。

信号的描述、分类和典型示例

信号的描述

描述信号的方式:

  • 数学表达式
  • 函数图像
  • 变换域表示
  • 分配函数

信号的分类

信号可以从不同的角度进行分类:

  • 确定性信号与随机信号
    • 确定性信号:信号被表示为一确定的时间函数,对于某一时刻,可确定一相应的函数值
    • 随机信号:不能给出确切的时间函数,只可能直到它的统计特性
  • 周期与非周期信号
    • 周期信号:依一定的时间间隔周而复始,而且是无始无终的信号
    • 非周期信号:时间上不具备周而复始的特性
  • 连续时间信号与离散时间信号
    • 连续时间信号:时间函数取值具有连续性
    • 离散时间信号:时间函数取值具有离散性
  • 一维信号与多维信号
    • 一维信号:一个变量的函数,如语音信号可表示为声压随时间变化的函数
    • 多维信号:多个变量的函数,如黑白图像每个像素不同的光强度

典型信号

常见的信号有:

  • 指数信号

f ( t ) = K e a t f(t)=Ke^{at} f(t)=Keat

  • 正弦信号

f ( t ) = K s i n ( w t + θ ) f(t)=Ksin(wt+\theta) f(t)=Ksin(wt+θ)

  • 复指数信号

f ( t ) = K e s t s = σ + j ω f(t)=Ke^{st}\\s=\sigma+j\omega f(t)=Kests=σ+jω

  • 抽样信号

S a ( t ) = s i n ( t ) t Sa(t)=\frac{sin(t)}{t} Sa(t)=tsin(t)

  • 钟形信号(高斯函数)

f ( t ) = E e − ( t τ ) 2 f(t)=Ee^{-{(\frac{t}{\tau})^2}} f(t)=Ee(τt)2

信号的运算

信号常见的运算包括:

  • 移位、反褶和尺度
  • 微分和积分
  • 相加或相乘

阶跃信号与冲激信号

本身具有不连续点或其导数与积分有不连续点的函数,通常被称为奇异函数。常见的奇异函数包括:

  • 单位斜变信号

f ( t ) = { 0 ( t < 0 ) t ( t ≥ 0 ) f(t)=\left\{\begin{aligned} 0 \qquad (t<0)\\ t \qquad (t\geq0)\\ \end{aligned} \right. f(t)={0(t<0)t(t0)

  • 单位阶跃信号

u ( t ) = { 0 ( t < 0 ) 1 ( t > 0 ) u(t)=\left\{ \begin{aligned} 0 \qquad(t<0) \\ 1 \qquad(t>0) \\ \end{aligned} \right. u(t)={0(t<0)1(t>0)

  • 单位冲激信号

δ ( t ) = lim ⁡ τ → 0 1 τ [ u ( t + τ 2 ) − u ( t − t 2 ) ] \delta(t)=\lim_{\tau\rightarrow0}\frac{1}{\tau} \left[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{t}{2})\right] δ(t)=τ0limτ1[u(t+2τ)u(t2t)]

当然除了上述的定义外,狄拉克给出冲激函数的另一种定义方式:
{ ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 δ ( t ) = 0 ( 当 t ≠ 0 ) \left\{ \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \\ \\ & \delta(t)=0 \qquad (当t\neq0)\\ \end{aligned} \right. +δ(t)dt=1δ(t)=0(t=0)

冲激函数有三个重要的性质:
∫ − ∞ ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0) δ(t)f(t)dt=f(0)

δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(t)

δ ( a t ) = 1 a δ ( t ) \delta(at)=\frac{1}{a}\delta(t) δ(at)=a1δ(t)

  • 冲击偶信号

冲激偶信号是冲激函数的微分,是呈现正、负极性的一对冲激,它有两个重要的性质:
∫ − ∞ ∞ δ ′ ( t ) f ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}\delta^{'}(t)f(t)dt=-f^{'}(0) δ(t)f(t)dt=f(0)

∫ − ∞ ∞ δ ′ ( t ) d t = 0 \int_{-\infty}^{\infty}\delta^{'}(t)dt=0 δ(t)dt=0

信号的分解

信号可以从不同的角度进行分解:

  • 直流分量与交流分量
  • 偶分量与奇分量
  • 脉冲分量
  • 实部分量与虚部分量
  • 正交函数分量
  • 利用分形理论描述信号

系统模型及分类

系统模型的表达形式:

  • 数学表达式
  • 方框图

数学模型的差异下系统的分类:

  • 连续时间系统与离散时间系统、
    • 系统的输入与输出都是连续时间信号,且其内部也未转换为离散时间信号,则称此系统为连续时间系统
    • 系统的输入与输出都是离散时间信号,则称此系统为离散时间系统
  • 即时系统与动态系统
    • 如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号,与它过去的工作状态无关,则称此系统为即时系统
    • 如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号,而且与它过去的工作状态有关,这种系统称为动态系统
  • 集总参数系统与分布参数系统
    • 只由集总参数原件组成的系统称为集总参数系统,用常微分方程作为它的数学模型
    • 含有分布参数元件的系统是分布参数系统,用偏微分方程作为它的数学模型
  • 线性系统与非线性系统
    • 具有叠加性与均匀性的系统称为线性系统
    • 不满足叠加性或均匀性的系统称为非线性系统
  • 时变系统与时不变系统
    • 如果系统的参数不随时间而变化,则称此系统为时不变系统
    • 如果系统的参数随时间改变,则称其为时变系统
  • 可逆系统与不可逆系统
    • 若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应,则称此系统为可逆系统
    • 若系统在不同的激励信号作用下存在产生相同的响应,则称此系统为不可逆系统
  • 因果系统与非因果系统
    • 系统在当前时刻的响应只与当前时刻及之前的输入有关,则称此系统为因果系统
    • 系统在当前时刻的响应不只与当前时刻及之前的输入有关,则称此系统为非因果系统
  • 稳定系统与非稳定系统
    • 如果系统的输入有界时,产生的输出也是有界的,则称此系统是稳定系统
    • 如果系统的输入有界时,产生的输出不是有界的,则称此系统是非稳定系统

线性时不变系统

系统特性:

  • 叠加性与均匀性
  • 时不变特性
  • 微分特性
  • 因果性

LTI系统分析方法

系统的数学描述方法:

  • 输入-输出描述法
  • 状态变量描述法

系统数学模型的求解方法:

  • 时间域方法
  • 变换域方法

扩展

如何将一个信号表示为脉冲分量之和?
f ( t ) ≈ ∑ t 1 = − ∞ ∞ f ( t 1 ) [ u ( t − t 1 ) − u ( t − t 1 − △ t 1 ) ] = ∑ t 1 = − ∞ ∞ f ( t 1 ) [ u ( t − t 1 ) − u ( t − t 1 − △ t 1 ) ] △ t 1 ⋅ △ t 1 = l i m △ t 1 → 0 ∑ t 1 = − ∞ ∞ f ( t 1 ) δ ( t − t 1 ) △ t 1 = ∫ − ∞ ∞ f ( t 1 ) δ ( t − t 1 ) d t 1 \begin{aligned} f(t)&\approx\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1})[u(t-t_{1})-u(t-t_{1}-{\vartriangle}t_{1})] \\ &=\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1}){\frac{[u(t-t_{1})-u(t-t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]}{{\vartriangle}t_{1}}}{\cdot}{\vartriangle}t_{1} \\ &={lim}_{{\vartriangle}t_{1}\rightarrow0}\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1})\delta(t-t_{1}){\vartriangle}t_{1} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{1})\delta(t-t_{1})dt_{1} \end{aligned} f(t)t1=f(t1)[u(tt1)u(tt1t1)]=t1=f(t1)t1[u(tt1)u(tt1t1)]t1=limt10t1=f(t1)δ(tt1)t1=f(t1)δ(tt1)dt1
如何将一个信号表示为阶跃信号之和?(假定t<0时,f(t)=0)
f ( t ) = f ( 0 ) u ( t ) + ∑ t 1 = △ t 1 ∞ [ f ( t 1 ) − f ( t 1 − △ t 1 ) ] u ( t − t 1 ) = f ( 0 ) u ( t ) + ∑ t 1 = △ t 1 ∞ [ f ( t 1 ) − f ( t 1 − △ t 1 ) ] △ t 1 u ( t − t 1 ) △ t 1 = f ( 0 ) u ( t ) + ∫ 0 ∞ d f ( t 1 ) d t 1 u ( t − t 1 ) d t 1 \begin{aligned} f(t)&=f(0)u(t)+\sum_{t_{1}={\vartriangle}t_{1}}^{\infty}[f(t_{1})-f(t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]u(t-t_{1}) \\ &=f(0)u(t)+\sum_{t_{1}={\vartriangle}t_{1}}^{\infty}\frac{[f(t_{1})-f(t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]}{{\vartriangle}t_{1}}u(t-t_{1}){\vartriangle}t_{1} \\ &=f(0)u(t)+\int_0^{\infty}\frac{df(t_1)}{dt_1}u(t-t_{1})dt_{1} \end{aligned} f(t)=f(0)u(t)+t1=t1[f(t1)f(t1t1)]u(tt1)=f(0)u(t)+t1=t1t1[f(t1)f(t1t1)]u(tt1)t1=f(0)u(t)+0dt1df(t1)u(tt1)dt1

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