【算法笔记之算法思想】贪心算法

1.如何理解贪心算法？

1 举个例子

假设我们有一个可以容纳 100kg 物品的背包，可以装各种物品。我们有以下 5 种豆子，每种豆子的总量和总价值都各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？

只要先算一算每个物品的单价，按照单价由高到低依次来装就好了。单价从高到低排列，依次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装 20kg 黑豆、30kg 绿豆、50kg 红豆。

2 贪心算法解决问题的步骤

1. 第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。
   上面的例子中，限制值就是重量不能超过 100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是 5 种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过 100kg，并且总价值最大。

2. 第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。
   类比到刚刚的例子，我们每次都从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子。

3. 我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性，是非常复杂的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证明。

注意:
实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。
如下图，从顶点S开始，找到一条到顶点T的最短路径—路径中的权值和最小；贪心算法解决的思路是：每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T，按这种思路，求出的最短路径是S->A ->E->T；路径长度是1+4+4=9；但是，这个路径并不是最短路径；下面的最短路径是 S->B->D->T ，这条路径的长度是 2+2+2=6；
贪心算法再这个问题上不工作的主要原因是，前面的选择会影响后面的选择；所以，即便我们第一步选择最优的走法（边最短），但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无缘全局最优解了。

2.贪心算法实战分析

1.分糖果

我们有 m 个糖果和 n 个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m 每个糖果的大小不等，这 m 个糖果的大小分别是 s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这 n 个孩子对糖果大小的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。
我的问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？

把这个问题抽象成，从 n 个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数 m。
这个问题如果通过贪心算法来解决呢？

对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的；
我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案。

2. 钱币找零

假设我们有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元这些面额的纸币，它们的张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付 K 元，最少要用多少张纸币呢？
肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用 1 元来补齐。
在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。

3. 区间覆盖（XXX）

假设我们有 n 个区间，区间的起始端点和结束端点分别是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这 n 个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。

问题的解决思路:
我们假设这 n 个区间中最左端点是 lmin，最右端点是 rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将 [lmin, rmax] 覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。
我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。

public class Solution {

  /** 范围区间 */
  private PriorityQueue<ScopeBusi> scopeList =
      new PriorityQueue<>((o1, o2) -> compare(o1.getEnd(), o2.getEnd()));

  /**
   * 比较的算法
   *
   * @param val1
   * @param val2
   * @return
   */
  public int compare(int val1, int val2) {
    if (val1 > val2) {
      return 1;
    } else if (val1 < val2) {
      return -1;
    }
    return 0;
  }

  public void add(int start, int end) {
    scopeList.offer(new ScopeBusi(start, end));
  }

  /**
   * 使用贪心算法，求最多能选出多少个区间呢？
   *
   * 
算法实现，即按结束结点构建小顶堆，
   *
   * 
然后在剩余的区间中查找，开始时间大小小顶堆的结束时间，这样即可求得最大不相交区间
   *
   * @return
   */
  public List<ScopeBusi> countScope() {

    ScopeBusi scopeStartTmp = scopeList.poll();

    List<ScopeBusi> result = new ArrayList<>();
    result.add(scopeStartTmp);

    while (!scopeList.isEmpty()) {

      ScopeBusi endBusi = scopeList.peek();

      if (endBusi.getStart() >= scopeStartTmp.getEnd()) {
        result.add(endBusi);
        scopeStartTmp = endBusi;
        scopeList.poll();
      } else {
        scopeList.poll();
      }
    }
    return result;
  }
}

4.总结

贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。 不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。
贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事；