群/环/域

研一的时候学过近世代数，几乎没学到什么，后续自学一遍还是半知半懂，总结在【近世代数】这里了，现在再次回顾提炼一下要点！

集合（set）

一个集合\(G\)表示一组数据
有限集合：\(G=\left\{ g_1,g_2,...,g_n\right\},|G|=n\)
无穷集合：\(G=\left\{ g_1,g_2,...,g_n\right\},|G|=\infty\)

比如：一个班的所有学生

半群（semi-group）

一个集合\(G\)，以及一个二元运算（.），满足：
封闭性：\(a \in G,b \in G,a.b \in G\)
结合律：\((a.b).c=a.(b.c)\)

自然数集\(N=\left\{0,1,2,...\right\}\)是一个加法半群、一个乘法半群

群（group）

一个集合\(G\)，以及一个二元运算（.），满足：
封闭性：\(a \in G,b \in G,a.b \in G\)
结合律：\((a.b).c=a.(b.c)\)
有单位元：\(\exists e,e.a=a.e=a\)
有逆元：\(\forall a\in G,\exists b \in G,a.b=b.a=e\)

比如整数集：
对于加法构成群（单位元：0，逆元：0）
对于乘法不能构成群（单位元：0，没有逆元）

交换群（commutative group）

1、群
2、交换律:\(a.b=b.a\)

比如整数集上的加法群，也是一个交换群。

同余关系

一个群\(G\),有一个二元运算(.),定义一个等价关系\(R\):
若等价关系满足：\(\forall a,b,c,d \in G,a R b, c R d : a.b R b.c\)，则\(R\)和运算(.)同余。

环（ring）

对一个集合G是环，且有两个二元运算（+，.），需满足：
1、对于加法运算，是一个交换群（封闭、结合律、单位元、逆元、交换律）
2、对与乘法运算，是一个半群（封闭、结合律）
3、满足分配律：\(\forall, a \in G,b \in G,c \in G,a.(b+c)=a.b+a.c\)

\(Z\)是整数环、\(R\)是实数环

交换环（commutative ring）

一个环\(G\)，其乘法运算满足交换律，即\(a.b=b.a\)

子环（sub ring）

G是一个环，R是G的一个非空子集，且满足：\(\forall a,b \in R,a+b \in R,a.b \in R\)，则R是G的一个子环。

理想环（ideal）

理想就是满足一定条件的子环，条件：
1、对于任意环\((G,+,.)\)，\(I\)叫做G的左理想，当满足：\(I\)是G的一个子环，且满足\(\forall r \in G,\forall x \in I,rx \in G\)
2、对于任意环\((G,+,.)\)，\(I\)叫做G的左右理想，当满足：\(I\)是G的一个子环，且满足\(\forall r \in G,\forall x \in I,xr \in G\)
故，若\(I\)既是左理想又是右理想，\(I\)是G的双边理想，即理想！

比如：偶数是整数的一个理想，偶数本身是整数的一个子集，既是左理想又是右理想。

商环（quotient ring）

理想的用途就是构造商环的
设\(I\)是环\(G\)的一个理想，定义\(G\)上的等价关系\(\sim\):

\[a \sim b : a-b \in I \]

\(\sim\)对于\(G\)上的加法和乘法运算是同余关系

至于什么是等价关系、等价类？，请参考：近世代数

由\(I\)能构造任意元素\(a \in G\)的等价类：\([a]=a+I:=\left\{a+r:r\in I \right\}\)，也可以写作\(a mod I\)
所有这些等价类构成一个商环，记\(G/I\)

例如：整数环\(Z\)的理想：偶数环\(2Z\)，则可以构造两个等价类

\[[0]=\left\{...,-2,0,2,... \right\} \]

\[[1]=\left\{...,-3,1,3,... \right\} \]

多项式环（polynomial ring ）

对于任意的一个环\(G\)，定义集合：

\[G[x]=\left\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0|a_i\in G,i=0,1,2,...,n \right\} \]

该集合是一个环，叫多项式环，n是多项式环的次数。

更多的关于多项式环的介绍，在后续介绍！

域（field）

对于一个集合\(G\)，有两个二元运算(+,.)，需要有：
1、加法和乘法满足结合律：\((a+b)+c=a+(b+c),(a.b).c=a.(b.c)\)
2、加法和乘法满足交换律：\(a+b=b+a,a.b=b.a\)
3、加法和乘法有单位元：a+0=0+a=a,a.1=1.a=a\( 4、加法和乘法有逆元：a+(-a)=(-a)+a=0,a.a^{-1}=a^{-1}.a=1\)
5、满足分配律：\(a.(b+c)=a.b+a.c\)

例如：实数构成实数域，有理数构成有理数域

有限域（galois field）

1、是一个域
2、元素个数是有限个

\(Z_q\)是一个整数有限域，其中\(q\)是一个素数

参考

1、群环域，理想商环，原根复习
2、抽象代数|笔记整理（6）——环，多项式环，理想