离散化算法

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一、基本介绍

离散化：把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

适用范围：数组中元素值域很大，但个数不是很多。
比如将a[]=[1,3,100,2000,500000]映射到[0,1,2,3,4]这个过程就叫离散化。

二、离散化模板

离散化有两个实现方式：

1、保序：

例如：对于序列 [105，35，35，79，-7]，排序并去重后变为 [-7，35，79，105]，由此就得到了对应关系 -7->1, 35->2, 79->3, 105->4。

基本的步骤可以分为：

1、用一个辅助的数组把你要离散的所有数据存下来。

2、排序，排序是为了后面的二分。

3、去重，因为我们要保证相同的元素离散化后数字相同。

4、索引，再用二分把离散化后的数字放回原数组。

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // +1:映射到1, 2, ...n（不加的话就是0~n-1）
}

非vector版本：

（从1开始输入的话vector不方便）

#include // 头文件 
 
const int MAXN = 1e6+4;
//n 原数组大小 num 原数组中的元素 lsh 离散化的数组 cnt 离散化后的数组大小 
int lsh[MAXN], cnt, num[MAXN], n;
 
for (int i = 1; i <= n; i ++) 
{
    scanf("%d", &num[i]);
    lsh[i] = num[i];	
}
 
sort(lsh + 1 , lsh + n + 1);//排序
cnt = unique(lsh + 1, lsh + n + 1) - lsh - 1;//去重
 
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 1, r = cnt;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r; // 映射到1, 2, ...n
}

【知识点】

对于随机给定的一个数组，去除其中所包含的重复元素可以通过调用C++的库函数unique来实现。

但有一点需要注意的是，unique仅是对相邻的重复元素进行去重，若要对随机给定的数组进行去重则需要先对数组进行排序，使得重复元素相邻.

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
	int n = 10;
	int a[10] = {4, 7, 4, 7, 2, 4, 6, 7, 4, 2};
	sort(a, a + n);
	int m = unique(a, a + n) - a;// 从0开始
	
	cout << "数组新的长度 " << m << endl;
	
	cout << "新数组 ";
	for(int i = 0;i < m; ++i)
	{
		cout << ' ' << a[i];
	}
	return 0;
}

数组新的长度 4
新数组 2 4 6 7

注意事项：

1、去重并不是把数组中的元素删去，而是重复的部分元素在数组末尾，去重之后数组的大小要减一。

2、二分的时候，注意二分的区间范围，一定是离散化后的区间。

3、如果需要多个数组同时离散化，那就把这些数组中的数都用数组存下来。

2、不保序：

例如：对于序列 [105，35，35，79，-7]，排序后变为 [-7，35，35，79，105]，由此就得到了对应关系 -7->1，35->2，35->3，79->4，105->5。

（由于不需要排序和去重等操作，会比第一种好写，且代码量会少很多）：可以用 map（每次在map中查询一下这个值是否存在，如果存在则返回对应的值，否则对应另一个值）或 hash表（即unordered_map或手写hash表，运用方式和map相同）。

unordered_map<int, int> S;
n = 0; //从第0个位置开始
// 离散化操作
int get(int x)
{
    if(!S.count(x)) S[x] = ++ n;
    return S[x];
}

三、巩固练习

1.区间和

思路：值域很大用离散化压缩优化！

【代码实现】

#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 3e5 + 10;
int a[N], s[N];
vector<PII> add, query; // 方便我们离散化还原数值，和区间查询操作
vector<int> alls; // 存储数值进行离散化操作
int n, m;

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{    
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        
        alls.push_back(x);
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    // 排序 + 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    // 数值还原映射到a[]数组
    for(auto item : add)
    {
        int x = find(item.x);// 找到映射后的位置
        a[x] += item.y;// 插入数值
    }
    
    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    // 处理区间和
    for(auto item : query)
    {
        // 找到离散化后对应的位置
        int l = find(item.x), r = find(item.y);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl; // 前缀和求区间和
    }
    
    return 0;
}

2.逆序对

【代码实现】

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e8 + 10;
typedef long long LL;
int len;
int a[N];
int tr[N];
// vector alls;
int alls[N];

int find(int x)
{
    int l = 1, r = len;
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r;
}

int lowbit(int x)  // 返回末尾的1
{
    return x & -x;
}
//这个树状数组的下标是数的范围，不是题中的n，数的个数的范围。
void add(int idx, int c)
{
    for(int i = idx; i <= len; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
int sum(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
         cin >> a[i];
         alls[i] = a[i];
    }
    // 排序 + 去重
    sort(alls + 1, alls + 1 + n);
    len = unique(alls + 1, alls + 1 + n) - alls - 1;// 去重后的长度

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int x = find(a[i]);
        res += sum(len) - sum(x);
        add(x, 1);
        
    }
    cout << res;
    
    return 0;
}

3.程序自动分析

【题目链接】[P1955 NOI2015] 程序自动分析 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

分析一下上面的举例，我们可以发现这组约束条件中“相等”的约束条件可以看做是一个并查集合并的过程，如x1=x2，相当于是将x1，x2合并到一个集合的操作，而“不等”的约束条件，如x1≠x4相当于是在说x1和x4不属于一个集合。

首先，对于约束条件的配置顺序我们是不关心的，换句话说，顺序不会影响我们最终的结果，因此我们可以先考虑相等的情况：xi=xj（这些情况当然不可能有矛盾），再考虑不等的情况：xi!=xj，如果根据之前相等的情况已经可以推出xi=xj，即xi、xj两者已经在同一集合中了，则表明有矛盾。

离散化有两种写法：

第一种是保序：离散化前是什么大小关系，离散化后还是什么大小关系（排序、判重、二分，可用库函数来实现）。

第二种不要求保序（由于不需要排序和去重等操作，会比第一种好写，且代码量会少很多）：可以用 map（每次在map中查询一下这个值是否存在，如果存在则返回对应的值，否则对应另一个值）或 hash表（即unordered_map或手写hash表，运用方式和map相同）。

步骤：

1. 离散化。
2. 将所有相等条件合并（并查集）。
3. 依次判断每个不等条件（query）。

【代码实现】

#include 
#include 
#include 
#include 


using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n, m;
int p[N];
unordered_map<int, int> S;

struct Query
{
    int x, y, e;
}query[N];

// 离散化操作
int get(int x)
{
    if(!S.count(x)) S[x] = ++ n;
    return S[x];
}
int find(int x)  // 并查集
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T --)
    {
        n = 0;
        S.clear(); //多组测试数据
        cin >> m;
        for (int i = 0; i < m; i ++ )
        {
            int x, y, e;
            cin >> x >> y >> e;
            x = get(x), y = get(y); // 先离散化
            query[i] = {x, y, e};
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 离散化后再初始化并查集
        
        // 先合并相等的情况
        for(int i = 0; i < m; i ++)
        {
            if(query[i].e == 1)
            {
                int pa = find(query[i].x), pb = find(query[i].y);
                p[pa] = pb;
            }
        }
        // 检查不相等的情况，看看是否矛盾
        bool flag = false;
        for (int i = 0; i < m; i ++ )
        {
            if(query[i].e == 0)
            {
                int pa = find(query[i].x), pb = find(query[i].y);
                if(pa == pb)
                {
                    flag = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if(flag) puts("NO");
        else puts("YES");
    } 
    return 0;
}

部分内容学习转载：

1. 作者：liangshang。链接：链接
2. 作者：努力的老周。链接：离散化_努力中的老周的专栏-CSDN博客

参考文献：

1. acwing算法基础课
2. 洛谷题库