作者：韩信子@ShowMeAI
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引言

在众多机器学习分类算法中，本篇我们提到的朴素贝叶斯模型，和其他绝大多数分类算法都不同，也是很重要的模型之一。

在机器学习中如KNN、逻辑回归、决策树等模型都是判别方法，也就是直接学习出特征输出$Y$和特征$X$之间的关系（决策函数$Y= f(X)$或者条件分布$P(Y|X)$）。但朴素贝叶斯是生成方法，它直接找出特征输出$Y$和特征$X$的联合分布$P(X,Y)$，进而通过$P(Y \mid X)= \frac{P(X,Y)}{P(X)}$计算得出结果判定。

朴素贝叶斯是一个非常直观的模型，在很多领域有广泛的应用，比如早期的文本分类，很多时候会用它作为baseline模型，本篇内容我们对朴素贝叶斯算法原理做展开介绍。

1.朴素贝叶斯算法核心思想

贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。而朴素贝叶斯（Naive Bayes）分类是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法。

朴素贝叶斯算法的核心思想是通过考虑特征概率来预测分类，即对于给出的待分类样本，求解在此样本出现的条件下各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类样本属于哪个类别。

举个例子：眼前有100个西瓜，好瓜和坏瓜个数差不多，现在要用这些西瓜来训练一个「坏瓜识别器」，我们要怎么办呢？

一般挑西瓜时通常要「敲一敲」，听听声音，是清脆声、浊响声、还是沉闷声。所以，我们先简单点考虑这个问题，只用敲击的声音来辨别西瓜的好坏。根据经验，敲击声「清脆」说明西瓜还不够熟，敲击声「沉闷」说明西瓜成熟度好，更甜更好吃。

所以，坏西瓜的敲击声是「清脆」的概率更大，好西瓜的敲击声是「沉闷」的概率更大。当然这并不绝对——我们千挑万选地「沉闷」瓜也可能并没熟，这就是噪声了。当然，在实际生活中，除了敲击声，我们还有其他可能特征来帮助判断，例如色泽、跟蒂、品类等。

朴素贝叶斯把类似「敲击声」这样的特征概率化，构成一个「西瓜的品质向量」以及对应的「好瓜/坏瓜标签」，训练出一个标准的「基于统计概率的好坏瓜模型」，这些模型都是各个特征概率构成的。

这样，在面对未知品质的西瓜时，我们迅速获取了特征，分别输入「好瓜模型」和「坏瓜模型」，得到两个概率值。如果「坏瓜模型」输出的概率值大一些，那这个瓜很有可能就是个坏瓜。

2.贝叶斯公式与条件独立假设

贝叶斯定理中很重要的概念是先验概率、后验概率和条件概率。（关于这部分依赖的数学知识，大家可以查看ShowMeAI的文章图解AI数学基础 | 概率与统计，也可以下载我们的速查手册 AI知识技能速查 | 数学基础-概率统计知识）

1）先验概率与后验概率

先验概率：事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计，可以由背景常识得出，也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率。

举个例子：如果我们对西瓜的色泽、根蒂和纹理等特征一无所知，按照常理来说，西瓜是好瓜的概率是60%。那么这个概率P（好瓜）就被称为先验概率。

后验概率：事件发生后求的反向条件概率。或者说，基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。

举个例子：假如我们了解到判断西瓜是否好瓜的一个指标是纹理。一般来说，纹理清晰的西瓜是好瓜的概率大一些，大概是75%。如果把纹理清晰当作一种结果，然后去推测好瓜的概率，那么这个概率P（好瓜|纹理清晰）就被称为后验概率。

条件概率：一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为P(B|A)表示A发生的条件下B发生的概率。

2）贝叶斯公式

简单来说，贝叶斯定理（Bayes Theorem，也称贝叶斯公式）是基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率，提供了一种计算后验概率的方法。在人工智能领域，有一些概率型模型会依托于贝叶斯定理，比如我们今天的主角「朴素贝叶斯模型」。

$P(A)$是先验概率，一般都是人主观给出的。贝叶斯中的先验概率一般特指它。
$P(B) $是先验概率，在贝叶斯的很多应用中不重要（因为只要最大后验不求绝对值），需要时往往用全概率公式计算得到。
$P(B \mid A)$是条件概率，又叫似然概率，一般是通过历史数据统计得到。
$P(A \mid B) $是后验概率，一般是我们求解的目标。

3）条件独立假设与朴素贝叶斯

基于贝叶斯定理的贝叶斯模型是一类简单常用的分类算法。在「假设待分类项的各个属性相互独立」的情况下，构造出来的分类算法就称为朴素的，即朴素贝叶斯算法。

所谓「朴素」，是假定所有输入事件之间是相互独立。进行这个假设是因为独立事件间的概率计算更简单。

朴素贝叶斯模型的基本思想是：对于给定的待分类项X{$ a_1,a_2,a_3,⋯,a_n $}，求解在此项出现的条件下各个类别$y_i$出现的概率，哪个$P(y_i |X)$最大，就把此待分类项归属于哪个类别。

朴素贝叶斯算法的定义为：设X{$ a_1,a_2,a_3,⋯,a_n $}为一个待分类项，每个$a_{i} $为x的一个特征属性，且特征属性之间相互独立。设C{$ y_1,y_2,y_3,⋯,y_n $}为一个类别集合，计算$P\left(y_{1} \mid X\right), P\left(y_{2} \mid X\right), P\left(y_{3} \mid X\right), \ldots, P\left(y_{n} \mid X\right)$。

$$ P\left(y_{k} \mid X\right)=\max \left\{P\left(y_{1} \mid X\right), P\left(y_{2} \mid X\right), P\left(y_{3} \mid X\right), \ldots, P\left(y_{n} \mid X\right)\right\} $$

则$ X \in y_{k}$

要求出第四项中的后验概率$P\left(y_{k} \mid X\right)$，就需要分别求出在第三项中的各个条件概率，其步骤是：

找到一个已知分类的待分类项集合，这个集合叫做训练样本集
统计得到在各类别下各个特征属性的条件概率估计。即
- $P\left(a_{1} \mid y_{1}\right), P\left(a_{2} \mid y_{1}\right), \cdots, P\left(a_{n} \mid y_{1}\right)$
- $P\left(a_{1} \mid y_{2}\right), P\left(a_{2} \mid y_{2}\right), \cdots, P\left(a_{n} \mid y_{2}\right)$
- ···
- $P\left(a_{1} \mid y_{n}\right), P\left(a_{2} \mid y_{n}\right), \cdots, P\left(a_{n} \mid y_{n}\right)$

在朴素贝叶斯算法中，待分类项的每个特征属性都是条件独立的，由贝叶斯公式

$$ P\left(y_{i} \mid X\right)=\frac{P\left(X \mid y_{i}\right) P\left(y_{i}\right)}{P(X)} $$

因为分母相当于在数据库中$X$存在的概率，所以对于任何一个待分类项来说$P\left(X \right) $都是常数固定的。再求后验概率$P\left(y_{i} \mid X\right)$的时候只用考虑分子即可。

因为各特征值是独立的所以有：

$$ \begin{aligned} P\left(X \mid y_{i}\right) P\left(y_{i}\right) &=P\left(a_{1} \mid y_{i}\right) P\left(a_{2} \mid y_{i}\right) \cdots P\left(a_{n} \mid y_{i}\right) P\left(y_{i}\right) \\ &=P\left(y_{i}\right) \prod_{j=1}^{n} P\left(a_{j} \mid y_{i}\right) \end{aligned} $$

可以推出：

$$ P\left(X \mid y_{i}\right)=\prod_{\frac{1}{k=1}}^{n} P\left(a_{k} \mid y_{i}\right) $$

对于$P\left(y_{i}\right) $是指在训练样本中$y_{i}$出现的概率，可以近似的求解为：

$$ P\left(y_{i}\right)=\frac{\left|y_{i}\right|}{D} $$

对于先验概率$P\left ( a_{j} \mid y_{i} \right ) $，是指在类别$y_{i}$中，特征元素$a_{j}$出现的概率，可以求解为：

$$ P\left ( a_{j} \mid y_{i} \right ) = \frac{\left | 在训练样本为 y_{i} 时，a_{j} 出现的次数 \right | }{\left | y_{i} 训练样本数 \right | } $$

总结一下，朴素贝叶斯模型的分类过程如下流程图所示：

3.伯努利与多项式朴素贝叶斯

1）多项式vs伯努利朴素贝叶斯

大家在一些资料中，会看到「多项式朴素贝叶斯」和「伯努利朴素贝叶斯」这样的细分名称，我们在这里基于文本分类来给大家解释一下：

在文本分类的场景下使用朴素贝叶斯，那对应的特征$a_j$就是单词，对应的类别标签就是$y$，这里有一个问题：每个单词会出现很多次，我们对于频次有哪些处理方法呢？

如果直接以单词的频次参与统计计算，那就是多项式朴素贝叶斯的形态。
如果以是否出现(0和1)参与统计计算，就是伯努利朴素贝叶斯的形态。

（1）多项式朴素贝叶斯

以文本分类为例，多项式模型如下。在多项式模型中，设某文档$d=\left(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{k}\right)$，$t_{k}$是该文档中出现过的单词，允许重复，则：

先验概率

$$ P\left ( c \right ) = \frac{类c下单词总数}{整个训练样本的单词总数} $$

类条件概率

$$ P\left ( t_{k} \mid c \right ) = \frac{类c下单词t_{k}在各个文档中出现过的次数之和+1}{类c下单词总数+\left | V \right |} $$

$V$是训练样本的单词表（即抽取单词，单词出现多次，只算一个），$\left | V \right |$则表示训练样本包含多少种单词。
$P\left ( t_{k} \mid c \right )$可以看作是单词$t_{k} $在证明$d$属于类$c$上提供了多大的证据，而$P \left ( c \right )$则可以认为是类别$c$在整体上占多大比例（有多大可能性）。

（2）伯努利朴素贝叶斯

对应的，在伯努利朴素贝叶斯里，我们假设各个特征在各个类别下是服从n重伯努利分布（二项分布）的，因为伯努利试验仅有两个结果，因此，算法会首先对特征值进行二值化处理（假设二值化的结果为1与0）。

对应的$P \left ( c \right )$和$P\left ( t_{k} \mid c \right ) $计算方式如下（注意到分子分母的变化）：

$$ P \left ( c \right )=\frac{类c下文件总数}{整个训练样本的文件总数} $$

$$ P\left ( t_{k} \mid c \right ) = \frac{类c下单词t_{k}在各个文档中出现过的次数之和+1}{类c下单词总数+2} $$

2）朴素贝叶斯与连续值特征

我们发现在之前的概率统计方式，都是基于离散值的。如果遇到连续型变量特征，怎么办呢？

以人的身高，物体的长度为例。一种处理方式是：把它转换成离散型的值。比如：

如果身高在160cm以下，特征值为1；
在160cm和170cm之间，特征值为2；
在170cm之上，特征值为3。

当然有不同的转换方法，比如还可以：

将身高转换为3个特征，分别是f1、f2、f3；
如果身高是160cm以下，这三个特征的值分别是1、0、0；
若身高在170cm之上，这三个特征的值分别是0、0、1。

但是，以上的划分方式，都比较粗糙，划分的规则也是人为拟定的，且在同一区间内的样本（比如第1套变换规则下，身高150和155）难以区分，我们有高斯朴素贝叶斯模型可以解决这个问题。

如果特征$x_{i}$是连续变量，如何去估计似然度$P\left ( x_{i}\mid y_{k} \right ) $呢？高斯模型是这样做的：我们假设在$y_{i}$的条件下，$x$服从高斯分布（正态分布）。根据正态分布的概率密度函数即可计算出$P\left ( x \mid y_{i} \right ) $，公式如下：

$$ P\left(x_{i} \mid y_{k}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_{y k, i}^{2}}} e^{-\frac{\left(x_{i}-\mu_{y k, i}\right)^{2}}{2 \sigma_{y k, i}^{2}}} $$

回到上述例子，如果身高是我们判定人性别（男/女）的特征之一，我们可以假设男性和女性的身高服从正态分布，通过样本计算出身高均值和方差，对应上图中公式就得到正态分布的密度函数。有了密度函数，遇到新的身高值就可以直接代入，算出密度函数的值。

4.平滑处理

1）为什么需要平滑处理

使用朴素贝叶斯，有时候会面临零概率问题。零概率问题，指的是在计算实例的概率时，如果某个量x，在观察样本库（训练集）中没有出现过，会导致整个实例的概率结果是0。

在文本分类的问题中，当「一个词语没有在训练样本中出现」时，这个词基于公式统计计算得到的条件概率为0，使用连乘计算文本出现概率时也为0。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到就武断的认为该事件的概率是0。

2）拉普拉斯平滑及依据

为了解决零概率的问题，法国数学家拉普拉斯最早提出用加1的方法估计没有出现过的现象的概率，所以加法平滑也叫做拉普拉斯平滑。

假定训练样本很大时，每个分量x的计数加1造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题。

对应到文本分类的场景中，如果使用多项式朴素贝叶斯，假定特征$x_{i} $表示某个词在样本中出现的次数（当然用TF-IDF表示也可以）。拉普拉斯平滑处理后的条件概率计算公式为：

$$ P\left(x_{i} \mid y\right) =\frac{N_{y i}+\alpha}{N_{y}+n \alpha} $$

$N_{yi} $表示类$y$的所有样本中特征$x_{i} $的特征值之和。
$N_{y}$表示类$y$的所有样本中全部特征的特征值之和。
$\alpha$表示平滑值（$\alpha \in \left [ 0, 1 \right ] $，主要为了防止训练样本中某个特征没出现而导致$N_{yi} =0$，从而导致条件概率$P\left(x_{i} \mid y\right) = 0$的情况，如果不加入平滑值，则计算联合概率时由于某一项为0导致后验概率为0的异常情况出现。
$n$表示特征总数。

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图解机器学习 | 朴素贝叶斯算法详解

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