作者:韩信子@ShowMeAI
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引言
大家在前面的部分学习到了使用决策树进行分类,实际决策树也可以用作回归任务,我们叫作回归树。而回归树的结构还是树形结构,但是属性选择与生长方式和分类的决策树有不同,我们一起来看看它的原理知识吧。
(本篇回归树模型部分内容涉及到机器学习基础知识、决策树算法,没有先序知识储备的宝宝可以查看ShowMeAI的文章 图解机器学习 | 机器学习基础知识 及 决策树模型详解)。
1.决策树回归算法核心思想
1)决策树结构回顾
我们一起来回顾一下决策树的结构,决策树的典型结构如下图所示。
决策树的学习过程和预测过程如下图所示。详细内容可以参考ShowMeAI的文章 决策树模型详解。
主流的决策树算法有:
- ID3:基于信息增益来选择分裂属性(每步选择信息增益最大的属性作为分裂节点,树可能是多叉的)。
- C4.5:基于信息增益率来选择分裂属性(每步选择信息增益率最大的属性作为分裂节点,树可能是多叉的)。
- CART:基于基尼系数来构建决策树(每步要求基尼系数最小,树是二叉的)。
其中:CART树全称Classification And Regression Tree,即可以用于分类,也可以用于回归,这里指的回归树就是CART树,ID3和C4.5不能用于回归问题。
2)回归树的核心思想
要讲回归树,我们一定会提到CART树,CART树全称Classification And Regression Trees,包括分类树与回归树。
CART的特点是:假设决策树是二叉树,内部结点特征的取值为「是」和「否」,右分支是取值为「是」的分支,左分支是取值为「否」的分支。这样的决策树等价于「递归地二分每个特征」,将输入空间(特征空间)划分为有限个单元,并在这些单元上确定预测的概率分布,也就是在输入给定的条件下输出的条件概率分布。
设有数据集 \(D\) ,构建回归树的大体思路如下:
- ①考虑数据集 \(D\) 上的所有特征 \(j\) ,遍历每一个特征下所有可能的取值或者切分点 \(s\) ,将数据集 \(D\) 划分成两部分 \(D_1\) 和 \(D_2\) 。
- ②分别计算 \(D_1\) 和 \(D_2\) 的平方误差和,选择最小的平方误差对应的特征与分割点,生成两个子节点(将数据划分为两部分)。
- ③对上述两个子节点递归调用步骤①②,直到满足停止条件。
回归树构建完成后,就完成了对整个输入空间的划分(即完成了回归树的建立)。将整个输入空间划分为多个子区域,每个子区域输出为该区域内所有训练样本的平均值。
我们知道了回归树其实是将输入空间划分为M个单元,每个区域的输出值是该区域内所有点y值的平均数。但我们希望构建最有效的回归树:预测值与真实值差异度最小。下面部分我们展开讲讲,回归树是如何生长的。
2.启发式切分与最优属性选择
1)回归树模型示例
我们用一个经典的棒球案例来解释回归树:根据从业年限和表现,去预估棒球运动员的工资。如下所示,有1987个数据样本,包含322个棒球运动员。红黄表示高收入,蓝绿表示低收入。横坐标是年限,纵坐标是表现。
这个简单案例中,每个样本数据有两个特征:从业年限years和成绩表现hits,回归树的决策过程由最终生成的回归树决定,如右图所示:
- 根决策节点为特征Years,其划分阈值为4.5,Years小于4.5的样本划分到左边,大于或等于4.5的样本划分到右边;
- 第二个决策节点的特征为Hits,其划分阈值为117.5,Hits小于117.5的样本划分到左边,大于或等于117.5的样本划分到右边。
- 一个样本顺着决策树的决策条件,走到叶子节点,即可获得预测工资,这里的预测工资总共就3种取值,分别为5.11、6.00、6.74。
我们来深入拆解和对应一下,其实回归树构建完成后,实现了对整个空间的划分(如下图所示)。实际预测时,新样本会按照回归树的决策过程,被划分到下图 \(R_1\) 、 \(R_2\) 、 \(R_3\) 之中的一个区域 \(R_i\) ,而这个新样本的预测值(本案例中为棒球运动员的工资)就是它所在的区域。
- \(R_i\) 中所有训练样本的工资平均值。
回归树背后的含义:对空间的划分。整个平面被划分成3部分:
- \(R1 = {X |Years < 4.5}\)
- \(R2 = {X |Years ≥ 4.5, Hits < 117.5}\)
- \(R3 = {X |Years ≥ 4.5, Hits ≥ 117.5}\)
2)回归树构建方法
下面切到回归树构建的核心:切分方式与属性选择。
假设一回归问题,预估结果 \(y \in R\) ,特征向量为 \(X = [x_1,x_2,x_3, \dots , x_p ]\) ,回归树2个步骤是:
- ①把整个特征空间 \(X\) 切分成 \(J\) 个没有重叠的区域 \(R_1,R_2,R_3, \dots ,R_J\)
- ②其中区域 \(R_J\) 中的每个样本我们都给一样的预测结果 \(\tilde{y}_{R_{j}}=\frac{1}{n} \sum j \in R j y_{j}\) ,其中 \(n\) 是 \(R_J\) 中的总样本数。
仔细观察一下上面的过程,实际上我们希望能找到如下的RSS最小的化划分方式 \(R_1,R_2,R_3, \dots ,R_J\)
$$ R S S=\sum_{j=1}^{J} \sum_{i \in R j}\left(y_{i}-\tilde{y}_{R_{j}}\right)^{2} $$
- \(y\) :为每个训练样本的标签构成的标签向量,向量中的每个元素 \(y_j \) 对应的是每个样本的标签。
- \(X\) :为特征的集合, \(x_1,x_2, \dots , x_p\) 为第1个特征到第 \(p\) 个特征。
- \(R_1,R_2,R_3, \dots ,R_J\) 为整个特征空间划分得来的J个不重叠的区域(可以参考上页的右图)。
- \(\tilde{y}_{R_{j}}\) :为划分到第 \(j\) 个区域 \(R_j \) 的样本的平均标签值,用这个值作为该区域的预测值,即如果有一个测试样本在测试时落入到该区域,就将该样本的标签值预测为 \(\tilde{y}_{R_{j}}\) 。
但是这个最小化和探索的过程,计算量是非常非常大的。我们采用「探索式的递归二分」来尝试解决这个问题。
递归二分
回归树采用的是「自顶向下的贪婪式递归方案」。这里的贪婪,指的是每一次的划分,只考虑当前最优,而不回头考虑之前的划分。从数学上定义,即选择切分的维度(特征) \(x_j\) 以及切分点 \(s\) 使得划分后的树RSS结果最小,公式如下所示:
$$ \begin{aligned} & R_{1}(j, s)=\left\{x \mid x_{j}
我们再来看看「递归切分」。下方有两个对比图,其中左图是非递归方式切分得到的,而右图是二分递归的方式切分得到的空间划分结果(下一次划分一定是在之前的划分基础上将某个区域一份为二)。
两种方式的差别是:递归切分一定可以找到一个较优的解,非递归切分穷举不了所有情况,算法上无法实现,可能无法得到一个较好的解。
回归树总体流程类似于分类树:分枝时穷举每一个特征可能的划分阈值,来寻找最优切分特征和最优切分点阈值,衡量的方法是平方误差最小化。分枝直到达到预设的终止条件(如叶子个数上限)就停止。
但通常在处理具体问题时,单一的回归树模型能力有限且有可能陷入过拟合,我们经常会利用集成学习中的Boosting思想,对回归树进行增强,得到的新模型就是提升树(Boosting Decision Tree),进一步,可以得到梯度提升树(Gradient Boosting Decision Tree,GBDT),再进一步可以升级到XGBoost。通过多棵回归树拟合残差,不断减小预测值与标签值的偏差,从而达到精准预测的目的,ShowMeAI会在后面介绍这些高级算法。
3.过拟合与正则化
1)过拟合问题
决策树模型存在过拟合风险,通常情况下,树的规模太小会导致模型效果不佳,而树的规模太大就会造成过拟合,非常难以控制。
2)过拟合问题处理
对于决策树,我们通常有如下一些策略可以用于环节过拟合:
(1)约束控制树的过度生长
- 限制树的深度:当达到设置好的最大深度时结束树的生长。
- 分类误差法:当树继续生长无法得到客观的分类误差减小,就停止生长。
- 叶子节点最小数据量限制:一个叶子节点的数据量过小,树停止生长。
(2)剪枝
约束树生长的缺点就是提前扼杀了其他可能性,过早地终止了树的生长,我们也可以等待树生长完成以后再进行剪枝,即所谓的后剪枝,而后剪枝算法主要有以下几种:
- Reduced-Error Pruning(REP,错误率降低剪枝)。
- Pesimistic-Error Pruning(PEP,悲观错误剪枝)。
- Cost-Complexity Pruning(CCP,代价复杂度剪枝)。
- Error-Based Pruning(EBP,基于错误的剪枝)。
3)正则化
对于回归树而言,在剪枝过程中我们会添加正则化项衡量。如下所示,考虑剪枝后得到的子树 \(\left {T_a \right }\) ,其中 \(\alpha\) 是正则化项的系数。当固定住 \(\alpha\) 之后,最佳的 \(T_a\) 就是使得下列式子值最小的子树。
$$ \sum_{m=1}^{|T|} \sum_{x_{i} \in R_{m}}\left(y_{i}-\tilde{y}_{R_{2}}\right)^{2}+\alpha|T| $$
- \(|T|\) 是回归树叶子节点的个数。
- \(\alpha\) 可以通过交叉验证去选择。
更多监督学习的算法模型总结可以查看ShowMeAI的文章 AI知识技能速查 | 机器学习-监督学习。
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