傅里叶变换学习笔记（二）——栅栏效应、频谱泄漏与加窗

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傅里叶变换学习笔记（一）
本文将对傅里叶变换应用中常见的两个问题进行讨论。
(一) 栅栏效应
先看一个典型的应用案例：
构造信号：
$$x\left(t\right)=-sin\left(2\pi f_{1}t\right)+sin\left(2\pi f_{2}t\right),f_1=10Hz,f_2=12Hz$$
从表达式中可以看出，$x(t)$中有$f1=10Hz$和$f2=12Hz$两个频率的谐波成分，其连续信号波形长这样：
截取信号的一个完整周期，并将其离散采样，记为$x(z)$，采样率为200Sa/s（采样间隔为0.005s）。截断采样后的信号长度为100，形状长这样：
直接对其进行快速傅里叶变换，结果为：

连续信号$x(t)$中并不包含$f=11Hz$频率的谐波，这在$x(z)$的FFT结果中并不能反映出来。理想情况下x(z)傅里叶变换结果应该为（红色点线）：

究竟是什么样的原因造成这种误差呢？通过观察，FFT结果中在信号频带附近只能取到10Hz和12Hz，而在我们关注的11Hz并没有计算结果，这显然是由于计算分辨率过低，只能计算特定频率点处的幅值。FFT中频率分辨率为：
$$Fs/N$$
（Fs为采样率、N为数据点数）
也就是说，在FFT计算中只能计算频率为整数倍的Fs/N的频率点，而无法分析其余频率点的谐波成分，本例中$Fs=200$、$N=100$，频率分辨率为2。这样的计算结果就像通过一道栅栏看风景，只有透过栅栏缝隙的景色才能被看到，这种现象被称为栅栏效应。
那么如何提高频率分辨率呢？
从频率分辨率的公式来看，增加数据点数是一个方法，
那么如何增加数据点呢？
首先来看一下补零操作，所谓补零，就是在分析数据的开头或末尾位置人为添加若干个0数据点以达到扩充数据点数的目的。接上例，在$x(z)$末尾补400个0值，对补零后的数据经FFT之后结果为：


从结果来看，频率分辨率似乎更细致了，因为增加了信号的长度N，频率分辨率相应变小，但是$x(t)$的真实特征仍然没有反映出来，$f=10Hz$的频率点处幅值仍不为0，与之前计算结果相比较，幅值曲线似乎只是更“光滑”了一些，而且出现了一系列旁瓣。

再看另一种数据扩展的操作，将$x(z)$延拓4个周期：

FFT结果为：

计算结果符合预期。思考一个问题：同样是数据扩展，为什么周期延拓会提高计算精度，而补零操作不能？
从感性角度较容易解释，仅将一段数据简单补零的操作，实际上并不能增加数据所表达的信息，而仅仅是提高了FFT本身的分析精度，这个操作就好比用一个放大镜去看一个已经打码的图片一样，即使放大镜倍数再高也无法准确的看出原有图片的细节。而将数据周期延拓则是对信号的信息表达有“加强”的效果，当然FFT结果会得到优化。
而从逻辑上直接解释这个问题并不容易，观察补零后的信号，其在时域中可被看作是周期延拓后的信号在乘一个矩形窗的结果。根据性质：**信号在时域上的乘积运算等价于在频域上的卷积运算。**矩形窗的傅里叶变换结果是$sinc$函数，过程如图：

关于卷积计算的过程，用公式表达不能直观理解，引用敌台大神的动画图。
（来源：从采样点到声音：sinc函数和卷积 - 知乎 (zhihu.com)）
图中橘黄色为$sinc$函数、绿色为卷积结果。可以看出，卷积后的结果可视为将蓝色峰值点做插值处理，而插值函数正是$sinc$函数，这也是补零后信号频谱中出现旁瓣的原因。
总结一下，对一个信号进行周期延拓会增大信号的频率分辨率，而补零只是在原有频谱上进行$sinc$插值处理。

(二) 频谱泄漏与加窗
频谱泄漏也做FFT时最常见的一个问题，举一个更简单的例子：
设信号$w(t)=sin(2\pi ft)，f=10Hz$，对$w(t)$进行离散采样，采样率为200Sa/s，记为$w(z)$。取5个整周期共100个点进行FFT计算：


下面进行如下操作：取4.7个周期，共94个点进行FFT计算：


频谱中反映的信息并不是单一频率的信号，而在10Hz附近的频率均有幅值，这种现象就是频谱泄漏。之前解释过DFT只是在DFS基础上，截取时域上的主值区间，只取1个周期的信号描述整个时间序列。按照上图信号截断的方法，完整的信号其实是这样的：

这种非整周期的截断导致延拓信号与原信号相位不连续，这是产生频谱泄漏的主要原因。主频周围频率点的谐波可视为对相位突变的补偿。
如何避免频谱泄漏呢？对于单频率的信号，只需要周期截断就可以了。对于频率成分复杂的信号，无法保证截断操作能满足各频率下的整周期。这时可以对时域信号进行加窗操作来降低频谱泄漏。

所谓加窗，就是在原信号上乘一个窗函数，对信号的截断操作可以理解为给信号加了一个矩形窗，这种加窗操作实质上是对原信号进行加权操作，单位矩形窗每个点的权值为1，而这些权值函数统称为窗函数。

汉宁窗是最常用的窗函数之一，他长这样：

再看上边非周期截断那个信号，经过加窗之后：

经过加窗之后，信号的开头和末尾均为0，这在一定程度上弱化了相位突变的影响，频谱泄漏现象明显降低。
使用不同的窗函数会对信号的频谱带来不同的影响，分析常用的三个窗函数：汉宁窗、海明窗和blackman窗。
时域和其频谱特征如下：


汉宁窗和海明窗的主瓣宽度相当，均小于blackman窗，主瓣宽度越宽，能量越集中在主瓣位置，但频率的分辨率会随之变差。汉宁窗和blackman窗的旁瓣衰减速度较快，相比较下海明窗的旁瓣衰减速度较慢，但海明窗离主瓣最近的旁瓣衰减较大。根据如上特性，可对窗函数的选择做一些总结（仅针对上述三个窗函数！！！）：

1. 宽频信号可使用旁瓣衰减较快的汉宁窗或blackman窗，具体选择可根据频率分辨率要求确定。
2. 窄带信号可使用海明窗处理，其对主瓣有较高分辨率的同时对临近旁瓣有较好的抑制效果。
3. 汉宁窗是通用的选择，若只定性分析信号的谐波成分而对其幅值精度要求不高的话，汉宁窗是不错的选择。

当然，常用的窗函数还有三角窗、平顶窗、凯塞窗等，分析方法相同。具体选择还需要具体分析信号的特征和分析的需求，结合窗函数的性能进行综合评估以满足要求。

下期预告：《时频分析——从STFT到HHT》

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