R多元线性回归模型与模型选择

什么是多元线性回归？

用矩阵来进行表示为：

实现

模型的p-value表示我这三个系数要不要的显著性
注：大部分操作与简单线性回归完全相同

把所有变量都用来分析：快捷

可以发现：
Multiple R-squared随着变量数量的增加始终提升，可以解释为变量解释的误差占总误差的比例越来越大。
Adjusted R-squared并不一定，暗示变量不是越多越好。最大的模型中，尽管模型显著，胆没有任何一个变量是显著的。这也是为什么要做模型选择的原因。

修正已有拟合模型

第一个 . 表示要预测的变量y,第二个 . 表示之前的变量。然后加上新的变量。

交叉项

如果感觉现有模型还不够好，可以考虑加入交叉项

对于类别型变量比如就只有0 1这种类别，解释：使得其他变量对不同分组存在不同的影响（系数不同）

共线性

如果有部分向量互相相关，则这两个变量会互相影响导致估计的误差很大，严格相关时，会导致部分变量无法估计。
例如 y = 3x可以写成y = x+2x = 0*x+1.5x就会导致无法估计。

这个可以用来估计共线性，越大就越可能存在越相关。
因此变量越多并不一定越好，容易出现过拟合等问题。

模型选择

这里我们暂时先考虑变量选择，即选出少量重要的因素。
有很多选择方法，没有哪个是绝对最优的。使用以下方法：AIC:

逐步去筛选，删去哪个变量，看看对应的AIC，AIC越小越好。第一步做全部变量的AIC，发现可以把cyl删去，一步步的进行，直到删去某一个值不会发生减少甚至增大为止。
注：AIC含义：参数越少/误差越小，AIC越小（模型越好）
backward选出的并不一定是AIC最小的那个模型，但差不多还可以。
这里是一个前向搜索。选出的答案可能是不一样的。

BIC: step(k = log(n))

AIC和BIC不能确定哪个更好。

模型比较

统计意义上论证某些变量是否可以去除还需要模型比较
一般比较一个full model和一个reduce model
做法就是把减少的那些变量置于0，看看效果

看那个F值比较大，说明去掉几个变量之后的会更好一点。