第一章----行列式知识点汇总

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  • 线性代数----1
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  • 第一章 行列式
    • 1.1行列式的定义
          • 二阶行列式的定义:
          • 排列与逆序:
          • 排列:
          • 逆序:
          • 定理1.1.1:一个对换,奇偶排列改变一次。
          • 定理1.1.2:
          • n阶行列式
          • 第一种定义:按行展开。
          • 第二种按列:
          • 第三种:既不按行也不按列
    • 1.2行列式的性质
          • 性质1:行列式转置,值不变。
          • 性质2:两行交换,值变号
          • 性质3:两行或两列对应相等,D=0.
          • 性质4:某一行都乘以k,等于用k乘以D。
          • 性质5:两行对应成比例,则D=0
          • 性质6:
          • ***性质7:某一行乘以一个数加到另一行上去,行列式的值不变。
          • 例 计算行列式的值
    • 1.3行列式按行展开 降阶
          • 余子式:
          • 代数余子式:
          • 定理:(按某行(列)展开)
          • 定理:(异乘变零)
          • 拉普拉斯k阶子式及余子式:
          • 拉普拉斯展开定理:
          • 行列式相乘:(同阶行列式)
    • 1.4 行列式的计算
            • 例1、a11是0时:
            • 例2、展开并构造行列式
            • 例3、制造行和:
            • 例4、加边法、三叉型行列式
            • 例5、范德蒙德行列式:
            • 例6、反对称行列式、对称行列式
    • 1.5克莱姆法则(利用行列式解方程)

线性代数----1

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第一章 行列式

1.1行列式的定义

第一章----行列式知识点汇总_第1张图片

  • 0 的三种理解

  • 矩阵不能放在分母上,没有交换律

二阶行列式的定义:

第一章----行列式知识点汇总_第2张图片

a(ij)

第一章----行列式知识点汇总_第3张图片

主对角线、次对角线:

在这里插入图片描述

三阶行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第4张图片

主对角线-副对角线

排列与逆序:
排列:

第一章----行列式知识点汇总_第5张图片

n级排列一共有n!种。

逆序:

在这里插入图片描述

逆序数:逆序的总数。

符号:N(4123)=3

逆序数是奇数,奇排列;偶数,偶排列。

标准排列:

第一章----行列式知识点汇总_第6张图片

数逆序数:

第一章----行列式知识点汇总_第7张图片

对换:

在这里插入图片描述

定理1.1.1:一个对换,奇偶排列改变一次。
定理1.1.2:

第一章----行列式知识点汇总_第8张图片

n阶行列式

第一章----行列式知识点汇总_第9张图片

第一种定义:按行展开。

行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第10张图片

单个元素。和绝对值。

例题:四阶矩阵简算

第一章----行列式知识点汇总_第11张图片

下三角行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第12张图片

上三角行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第13张图片

对角型行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第14张图片
另外两种副对角线:

第一章----行列式知识点汇总_第15张图片

总结类型:(主、次对角线)

第一章----行列式知识点汇总_第16张图片

第二种按列:

第一章----行列式知识点汇总_第17张图片

第三种:既不按行也不按列

第一章----行列式知识点汇总_第18张图片

考点:符号由行标和列表的逆序数之和决定。

例题:

第一章----行列式知识点汇总_第19张图片

1.2行列式的性质

转置:

第一章----行列式知识点汇总_第20张图片

两次转置等于没做:

第一章----行列式知识点汇总_第21张图片

性质1:行列式转置,值不变。

在这里插入图片描述

(对行成立的性质,对列也成立)

性质2:两行交换,值变号

第一章----行列式知识点汇总_第22张图片

性质3:两行或两列对应相等,D=0.

第一章----行列式知识点汇总_第23张图片

性质4:某一行都乘以k,等于用k乘以D。

第一章----行列式知识点汇总_第24张图片

推论:行列式某一行有公因子k,k可以提到外面去。

第一章----行列式知识点汇总_第25张图片
行列式所有元素均有公因子k,k提n次。

性质5:两行对应成比例,则D=0

第一章----行列式知识点汇总_第26张图片

推论:

第一章----行列式知识点汇总_第27张图片

性质6:

第一章----行列式知识点汇总_第28张图片

是和的那一行分开,其余的保持不变。

***性质7:某一行乘以一个数加到另一行上去,行列式的值不变。

第一章----行列式知识点汇总_第29张图片

例 计算行列式的值

第一章----行列式知识点汇总_第30张图片

解答过程:转化为上三角、对角相乘

第一章----行列式知识点汇总_第31张图片

变式:第一章----行列式知识点汇总_第32张图片

解法:1、2行交换,变号。余下同上。把1换到第一个位置。

记忆方法:

第一章----行列式知识点汇总_第33张图片

1.3行列式按行展开 降阶

余子式:

第一章----行列式知识点汇总_第34张图片

代数余子式:

在这里插入图片描述

定理:(按某行(列)展开)

展开之前的选择:要选择哪一行?

第一章----行列式知识点汇总_第35张图片

  • 选0多的行或列展开。
定理:(异乘变零)

第一章----行列式知识点汇总_第36张图片

证明:

第一章----行列式知识点汇总_第37张图片

拉普拉斯k阶子式及余子式:

第一章----行列式知识点汇总_第38张图片

拉普拉斯展开定理:

第一章----行列式知识点汇总_第39张图片

  • 取定1、2行,1、2列,所以符号(-1)的1+2+1+2次方
行列式相乘:(同阶行列式)

第一章----行列式知识点汇总_第40张图片

不同阶相乘,一个个算就行。

1.4 行列式的计算

计算:

例1、a11是0时:

第一章----行列式知识点汇总_第41张图片

  • 两种方法:交换1、2行或者,第二行加到第一行。
例2、展开并构造行列式

第一章----行列式知识点汇总_第42张图片

  • 按行展开、构造行列式、余子式转为代数余子式,在行列式展开的时候找零多的行。
例3、制造行和:

第一章----行列式知识点汇总_第43张图片

例4、加边法、三叉型行列式
  • 加边准则,不能改变原来行列式的值。

  • 加边法主要是利用行列式展开进行 行列式的构造

第一章----行列式知识点汇总_第44张图片

  • 有字母,放分母,要看是否有条件不等于0
例5、范德蒙德行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第45张图片

右下角记得写上阶数

  • 隐藏的范德蒙德行列式。但是第一行或者第一列一定都是相同的数,通常为1.
例6、反对称行列式、对称行列式

反对称行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第46张图片

  • 定义:aij=-aji

  • 主对角元素全是0.

  • 上下位置对应相反数.

性质:奇数阶,行列式的值等于0.

推导:(3阶,奇数阶

第一章----行列式知识点汇总_第47张图片

偶数阶,没用。D=D

对称行列式:

第一章----行列式知识点汇总_第48张图片

  • 主对角元素无要求。

  • 上下对应相等。

  • 定义:aij=aji

1.5克莱姆法则(利用行列式解方程)

使用条件:(1、方程的个数等于未知数2、D不等于0)

D=系数行列式

第一章----行列式知识点汇总_第49张图片

计算量大,一般不用。(适合计算机解题)

定理1、齐次方程至少有零解(全等于0)

第一章----行列式知识点汇总_第50张图片

定理2、

  • 齐次方程,方程个数=未知数个数,D!=0,只有零解。

  • D=0,齐次方程(方程个数=未知数个数)有非零解。

第一章----行列式知识点汇总_第51张图片

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