LeetCode 2167. 移除所有载有违禁货物车厢所需的最少时间

一、题目

1、题目描述

  给你一个下标从 0 开始的二进制字符串 s ，表示一个列车车厢序列。s[i] = '0'表示第 $i$ 节车厢不含违禁货物，而 s[i] = '1'表示第 $i$ 节车厢含违禁货物。
作为列车长，你需要清理掉所有载有违禁货物的车厢。你可以不限次数执行下述三种操作中的任意一个：
  从列车 左端移除一节车厢（即移除s[0]），用去 1 单位时间。
  从列车 右端移除一节车厢（即移除 s[s.length - 1]），用去 1 单位时间。从列车车厢序列的 任意位置 移除一节车厢，用去 2 单位时间。返回移除所有载有违禁货物车厢所需要的 最少 单位时间数。
注意，空的列车车厢序列视为没有车厢含违禁货物。
  样例输入： s = "1100101"
  样例输出： 5

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int minimumTime(char * s){

}

3、原题链接

LeetCode 2167. 移除所有载有违禁货物车厢所需的最少时间

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ 根据题意，我们要求的就是左边去掉一块，右边去掉一块，中间把所有的 1 取出来并且乘 2，就是我们的答案。
  $(2)$ 为了方便，我们将数组的下标进行偏移，从 1 开始计算。整个数组下标为 $1$ 到 $n$。
  $(3)$ 比如左边去掉的是 $[1,i]$，右边去掉的是 $[j,n]$，中间的 1 的个数是 $count(i+1,j-1)$。总共花费是：
$$i+(n-j+1)+2\ast count(i+1,j-1)$$
  $(4)$ 其中 $count(i+1,j-1)$ 可以通过前缀和来求，令 $sum[i]$ 表示 $[1,i]$ 的前缀和。那么有：
$$count(i+1,j-1)=sum[j-1]-sum[i]$$
  $(5)$ 将 $(4)$ 代入 $(3)$，得到如下式子：
$$i+(n-j+1)+2\ast (sum[j-1]-sum[i])$$
  $(6)$ 将和 $i$ 有关的 和 $j$ 有关的，分成两部分：
$$(i-2sum[i])+(2\ast sum[j-1]-j)+(n+1)$$
  $(7)$ 令 $a[i]=i-2sum[i]$，$b[j]=(2\ast sum[j-1]-j)$，$i$ 的范围是 $[0,n]$，$j$ 的范围是 $[1,n+1]$。
  $(8)$ 利用前缀最值 和 后缀最值求解。前缀最值可以参考：动态规划（三）前缀最值

2、时间复杂度

  $O(n)$。

3、代码详解

#define maxn 200005

int min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

int minimumTime(char * s){
    int i, j;
    int sum[maxn];
    int n = strlen(s);
    int a[maxn], b[maxn];
    int mina[maxn], minb[maxn];

    sum[0] = 0;
    // 首先求前缀和存储到 sum
    for(i = 1; i <= n; ++i) {
        sum[i] = sum[i-1] + (s[i-1] - '0');
    }
    sum[n+1] = sum[n];

    // 计算 a[i] = i - 2sum[i]
    // 并且计算 a 的前缀最值存储到 mina
    for(i = 0; i <= n; ++i) {
        a[i] = i - 2*sum[i];
        mina[i] = a[i];
        if(i) {
            mina[i] = min(mina[i], mina[i-1]);
        }
    }
    // 计算 b[j] = (2*sum[j-1]-j)
    // 并且计算 b 的后缀最值存储到 minb
    for(j = n + 1; j >= 1; --j) {
        b[j] = 2 * sum[j-1] - j;
        minb[j] = b[j];
        if(j < n + 1) {
            minb[j] = min(minb[j], minb[j+1]);
        }
    }
    int ans = 1000000000;
    for(j = 1; j <= n + 1; ++j) {
        ans = min(ans, mina[j-1] + minb[j]);
    }
    return ans + n + 1;
}

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三、本题小知识

  当问题看起来复杂的时候，我们需要把它转换成数学的形式，再去分析。

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四、加群须知

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