python牛顿迭代法求根例题_第一部分：趣味算法入门；第六题牛顿迭代法求一元三次方程的根...

100个不同类型的python语言趣味编程题

在求解的过程中培养编程兴趣,拓展编程思维,提高编程能力。

第一部分：趣味算法入门；第六题

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6.牛顿迭代法求方程的根：方程为：ax**3 + bx**2 + cx + d = 0,系数a,b,c,d由主函数输入。

求x在1附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。

牛顿迭代法的公式是：x = x0 - f(x0)/f'(x0) 设迭代到|x-x0|<=10**-5时结束。

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#解题方法示例如下;

#输入方程的系数

a = int(input('请输入a的值：'))

b = int(input('请输入b的值：'))

c = int(input('请输入c的值：'))

d = int(input('请输入d的值：'))

#用牛顿迭代法求方程的根

x = 1.5

i =1 #随机定义一个i的值，是其能够进入while循环语句

while i >= 1e-5: #（1e-5 = 10**-5）

x0 = x #用所得的x代替x0原来的值

f = ((a*x0+b)*x0+c)*x0 +d #f用来描述方程的值

fd = (3*a*x0 + 2*b)*x0 +c #fd用来描述方程求导之后的值

x = x0 - f/fd #求得更接近方程根的x的值

i = abs(x - x0)

#输出所求方程的根

print('方程的一个根为：{:7f}'.format(x)) #format的格式化输出，输出保留7位小数的浮点数。

#解本问题有多种方法，此方法并不是标准答案，读者可以自己尝试各种方法

问题分析：

​牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程的近似根。

​设r是f(x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值。过点（x0, f(x0))作为曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) +f‘(x0)(x-x0)，求出L于x轴交点的横坐标x1 = x0 -f(x0)/f’(x0)，称x1为r的一次近似值，过点（x1, f(x1))作为曲线y = f(x)的切线并求改切线于x轴的横坐标x2 = x1 -f(x1)/f’(x1)，称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值xn。上述即为牛顿迭代法的求解过程。

​算法设计：

在1附近找任意一实数作为x0的初值，我们去1.5，即x0 = 1.5.

用初值x0带入方程中计算此时的f(x0)及f'(x0)；程序中f用来描述方程的值，fd用来描述方程求导之后的值。

计算增量h=f/fd。

计算下一个x （x = x0-h）。

用所得的x代替x0原来的值。

若|x - x0|>=1e-5,则转到第三步继续执行，否则转到步骤7

所求x就是方程的根，将其输出。

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注：100个不同类型的python语言趣味编程题是参考100个不同类型的c语言趣味编程题而写，陆续会更新。欢迎大家分享出你们的方案。