平衡二叉树
定义
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动机：二叉查找树的操作实践复杂度由树高度决定，所以希望控制树高，左右子树尽可能平衡。
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平衡二叉树（AVL树）：称一棵二叉查找树为高度平衡树，当且仅当或由单一外结点组成，或由两个子树形 Ta 和 Tb 组成，并且满足：
- |h(Ta) - h(Tb)| <= 1，其中 h(T) 表示树 T 的高度
- Ta 和 Tb 都是高度平衡树
即：每个结点的左子树和右子树的高度最多差 1 的 二叉查找树。
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设 T 为高度平衡树中结点 q 的平衡系数为 q 的右子树高度减去左子树高度
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高度平衡树所以结点的平衡系数只可能为：-1, 0, 1
结点结构
1️⃣ key：关键字的值
2️⃣ value：关键字的存储信息
3️⃣ height：树的高度（只有一个结点的树的高度为 1）
4️⃣ left：左子树根结点的的引用
5️⃣ right：右子树根结点的引用
class AVLNode, V> {
public K key;
public V value;
public int height;
public AVLNode left;
public AVLNode right;
public AVLNode(K key, V value, int height) {
this.key = key;
this.value = value;
this.height = height;
}
}
查找算法
同二叉查找树的查找算法：【数据结构与算法】手撕二叉查找树
插入算法
AVL 树是一种二叉查找树，故可以使用二叉查找树的插入方法插入结点，但插入一个新结点时，有可能破坏 AVL 树的平衡性。
如果发生这种情况，就需要在插入结点后对平衡树进行调整，恢复平衡的性质。实现这种调整的操作称为“旋转”。
在插入一个新结点 X 后，应调整失去平衡的最小子树，即从插入点到根的路径向上找第一个不平衡结点 A。
平衡因子：该结点的左子树高度和右子树高度的差值。如果差值的绝对值小于等于 1，则说明该结点平衡，如果差值的绝对值为 2（不会出现其他情况），则说明该结点不平衡，需要做平衡处理。
造成结点 A 不平衡的的原因以及调整方式有以下几种情况。
LL 型
A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的左子结点，所以为 LL 型。
扁担原理：右旋
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将 A 的左孩子 B 提升为新的根结点；
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将原来的根结点 A 降为 B 的右孩子；
-
各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，BR 调整为 A 的左子树)。
-
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。
private AVLNode rightRotate(AVLNode a) {
if(a == null || a.left == null) return a;
AVLNode b = a.left;
a.left = b.right;
b.right = a;
a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1;
return b;
}
RR 型
A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的右子结点，所以为 RR 型。
扁担原理：左旋
-
将 A 的右孩子 B 提升为新的根结点；
-
将原来的根结点 A 降为 B 的左孩子；
-
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，BL 调整为 A 的右子树)。
-
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。
private AVLNode leftRotate(AVLNode a) {
if (a == null || a.right == null) return a;
AVLNode b = a.right;
a.right = b.left;
b.left = a;
a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1;
return b;
}
LR 型
A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的右子结点，所以为 LR 型。
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从旋转的角度：对 B 左旋，然后对 A 右旋
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将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
-
将原来的根结点 A 降为 C 的右孩子；
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各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，CL 和 CR 分别调整为 B 的右子树和 A 的左子树)。
private AVLNode leftRightRotate(AVLNode a) {
a.left = leftRotate(a.left); // 对 B 左旋
return rightRotate(a); // 对 A 右旋
}
RL 型
A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的左子结点，所以为 RL 型。
-
从旋转的角度：对 B 右旋，然后对 A 左旋
-
将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
-
将原来的根结点 A 降为 C 的左孩子；
-
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，CL 和 CR 分别调整为 A 的右子树和 B 的左子树)。
private AVLNode rightLeftRotate(AVLNode a) {
a.right = rightRotate(a.right);
return leftRotate(a);
}
插入方法
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根结点默认高度为
1 -
某结点的左右子树高度差的绝对值为
2，则需要进行平衡处理-
左子树高
-
key小于root.left.key：LL型，进行右旋
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key大于root.left.key：LR型，进行左右旋
-
-
右子树高
-
key大于root.right.key：RR型，进行左旋
-
key小于root.right.key：RR型，进行右左旋
-
-
public void insert(K key, V value) {
root = insert(root, key, value);
}
private AVLNode insert(AVLNode t, K key, V value) {
if (t == null) {
return new AVLNode<>(key, value, 1);
} else if (key.compareTo(t.key) < 0) {
t.left = insert(t.left, key, value);
t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
// 平衡因子判断
if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) {
if (key.compareTo(root.left.key) < 0) // 左左：右旋
t = rightRotate(t);
else // 左右：先左旋，再右旋
t = leftRightRotate(t);
}
} else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
t.right = insert(t.right, key, value);
t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
// 平衡因子判断
if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) {
if (key.compareTo(root.right.key) > 0) // 右右：左旋
t = leftRotate(t);
else // 右左：先右旋，再左旋
t = rightLeftRotate(t);
}
} else {
t.value = value;
}
return t;
}
删除算法
概述
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可采用二叉查找树的删除算法进行删除。
【数据结构与算法】手撕二叉查找树 -
删除某结点 X 后，沿从 X 到根节点的路径上考察沿途结点的平衡系数，若第一个不平衡点为 A，平衡以 A 为根的子树。
-
平衡后，可能使子树 A 高度变小。这样可能导致 A 的父节点不满足平衡性。
-
所以要继续向上考察结点的平衡性，最远可能至根结点，即最多需要做
O(logn)次旋转。 -
对比“插入”操作：平衡 A 后，子树高度不变，A 子树以外的结点不受影响，即插入最多涉及
O(1)次旋转。
实例分析
下面举个删除的例子：
删除以下平衡二叉树中的 16 结点
1️⃣ 16 为叶子，将其删除即可，如下图。
2️⃣ 指针 g 指向实际被删除节点 16 之父 25，检查是否失衡，25 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点（从失衡节点沿着高度大的子树向下找三代），判断为 RL 型，进行 RL 旋转调整平衡，如下图所示。
3️⃣ 继续向上检查，指针 g 指向 g 的双亲 69，检查是否失衡，69 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点，判断为 RR 型，进行 RR 旋转调整平衡，如下图所示。
代码
代码描述：
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若当前结点为空， 则返回该节点
-
若关键值小于当前结点的关键值，则递归处理该结点的左子树
-
若关键值大于当前结点的关键值，则递归处理该结点的右子树
-
若关键值等于当前结点的关键值
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若当前结点的左子树为空，则返回该结点的右子树根节点
-
若当前结点的右子树为空，则返回该结点的左子树根节点
-
若当前结点左右子树都不为空，则找到该结点的中序前驱结点（该结点左子树的最右结点）或中序后继结点（该结点右子树的最左结点），将其值赋予该结点，然后递归删除中序前驱或后继结点。
-
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更新结点高度
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若该结点左子树高度更高，且处于不平衡状态
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若为 LL 型，进行右旋
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若为 LR 型，先左旋，再右旋
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若该结点右子树高度更高，且处于不平衡状态
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若为 RL 型，先右旋，再左旋
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若我 RR 型，进行左旋
-
-
返回该结点
public void remove(K key) {
this.root = delete(root, key);
}
public AVLNode delete(AVLNode t, K key) {
if (t == null) return t;
if (key.compareTo(t.key) < 0) {
t.left = delete(t.left, key);
}
else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
t.right = delete(t.right, key);
}
else {
if(t.left == null) return t.right;
else if(t.right == null) return t.left;
else { // t.left != null && t.right != null
AVLNode pre = t.left;
while (pre.right != null) {
pre = pre.right;
}
t.key = pre.key;
t.value = pre.value;
t.left = delete(t.left, t.key);
}
}
if (t == null) return t;
t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) {
if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {
return rightRotate(t);
} else {
return leftRightRotate(t);
}
}
else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) {
if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {
return rightLeftRotate(t);
}
else {
return leftRotate(t);
}
}
return t;
}
完整代码
class AVLNode, V> {
public K key;
public V value;
public int height;
public AVLNode left;
public AVLNode right;
public AVLNode(K key, V value, int height) {
this.key = key;
this.value = value;
this.height = height;
}
}
class AVLTree, V> {
public AVLNode root;
public int getHeight(AVLNode t) {
return t == null ? 0 : t.height;
}
public void insert(K key, V value) {
root = insert(root, key, value);
}
public void remove(K key) {
this.root = delete(root, key);
}
public AVLNode delete(AVLNode t, K key) {
if (t == null) return t;
if (key.compareTo(t.key) < 0) {
t.left = delete(t.left, key);
}
else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
t.right = delete(t.right, key);
}
else {
if(t.left == null) return t.right;
else if(t.right == null) return t.left;
else { // t.left != null && t.right != null
AVLNode pre = t.left;
while (pre.right != null) {
pre = pre.right;
}
t.key = pre.key;
t.value = pre.value;
t.left = delete(t.left, t.key);
}
}
if (t == null) return t;
t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) {
if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {
return rightRotate(t);
} else {
return leftRightRotate(t);
}
}
else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) {
if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {
return rightLeftRotate(t);
}
else {
return leftRotate(t);
}
}
return t;
}
private AVLNode insert(AVLNode t, K key, V value) {
if (t == null) {
return new AVLNode<>(key, value, 1);
}
if (key.compareTo(t.key) < 0) {
t.left = insert(t.left, key, value);
// 平衡因子判断
if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) {
if (key.compareTo(t.left.key) < 0) // 左左：右旋
t = rightRotate(t);
else // 左右：先左旋，再右旋
t = leftRightRotate(t);
}
} else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
t.right = insert(t.right, key, value);
// 平衡因子判断
if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) {
if (key.compareTo(t.right.key) > 0) // 右右：左旋
t = leftRotate(t);
else // 右左：先右旋，再左旋
t = rightLeftRotate(t);
}
} else {
t.value = value;
}
t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
return t;
}
private AVLNode rightLeftRotate(AVLNode a) {
a.right = rightRotate(a.right);
return leftRotate(a);
}
private AVLNode leftRightRotate(AVLNode a) {
a.left = leftRotate(a.left);
return rightRotate(a);
}
private AVLNode leftRotate(AVLNode a) {
AVLNode b = a.right;
a.right = b.left;
b.left = a;
a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1;
return b;
}
private AVLNode rightRotate(AVLNode a) {
AVLNode b = a.left;
a.left = b.right;
b.right = a;
a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1;
return b;
}
private void inorder(AVLNode root) {
if (root != null) {
inorder(root.left);
System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
inorder(root.right);
}
}
private void preorder(AVLNode root) {
if (root != null) {
System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
preorder(root.left);
preorder(root.right);
}
}
private void postorder(AVLNode root) {
if (root != null) {
postorder(root.left);
postorder(root.right);
System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
}
}
public void postorderTraverse() {
System.out.print("后序遍历：");
postorder(root);
System.out.println();
}
public void preorderTraverse() {
System.out.print("先序遍历：");
preorder(root);
System.out.println();
}
public void inorderTraverse() {
System.out.print("中序遍历：");
inorder(root);
System.out.println();
}
}
方法测试
public static void main(String[] args) {
AVLTree tree = new AVLTree<>();
tree.insert(69, 1);
tree.insert(25, 1);
tree.insert(80, 1);
tree.insert(16, 1);
tree.insert(56, 1);
tree.insert(75, 1);
tree.insert(90, 1);
tree.insert(30, 1);
tree.insert(78, 1);
tree.insert(85, 1);
tree.insert(98, 1);
tree.insert(82, 1);
tree.remove(16);
tree.preorderTraverse();
tree.inorderTraverse();
tree.postorderTraverse();
}
输出
先序遍历：(key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 98 , value: 1 , height: 1)
中序遍历：(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 98 , value: 1 , height: 1)
后序遍历：(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 98 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 80 , value: 1 , height: 4)