OpenCV学习笔记(十)——傅里叶变换

图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。 空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等。空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑处理。空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。

1. 理论基础

关于傅里叶变换的讲解请看这篇文章：
深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）

在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解为正弦分量和余弦分量两部分，即将图像 从空间域转换到频率域(以下简称频域)。数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数。 因此，显示傅里叶变换的结果需要使用实数图像(real image)加虚数图像(complex image)， 或者幅度图像(magnitude image)加相位图像(phase image)的形式。

因为幅度图像包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中，通常仅使用幅度图像。当然，如果希望先在频域内对图像进行处理，再通过逆傅里叶变换得到修改后的空域图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。

对图像进行傅里叶变换后，我们会得到图像中的低频和高频信息。低频信息对应图像内变 化缓慢的灰度分量。高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。例如，在一幅大草原的图像中有一头狮子，低频信息就对应着广袤的颜色趋于一致的草原等细节信息，而高频信息则对应着狮子的轮廓等各种边缘及噪声信息。

傅里叶变换的目的，就是为了将图像从空域转换到频域，并在频域内实现对图像内特定对 象的处理，然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。

2. OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV 提供了函数 cv2.dft()和 cv2.idft()来实现傅里叶变换和逆傅里叶变换，下面分别展 开介绍。

2.1 实现傅里叶变换

返回结果=cv2.dft(原始图像，转换标识)

• 对于参数“原始图像”，要首先使用 np.float32()函数将图像转换成 np.float32 格式。
• “转换标识”的值通常为“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用来输出一个复数阵列。

经过函数 cv2.dft() 的变换后，我们得到了原始图像的频谱信息。此时，零频率分量并不在中心位置，为了处理方便需要将其移至中心位置，可以用函数 numpy.fft.fftshift() 实现。例如， 如下语句将频谱图像 dft 中的零频率分量移到频谱中心，得到了零频率分量位于中心的频谱图像 dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift(dft)

经过上述处理后，频谱图像还只是一个由实部和虚部构成的值。要将其显示出来，还要做进一步的处理才行。

函数 cv2.magnitude()可以计算频谱信息的幅度。该函数的语法格式为：

返回值=cv2.magnitude(参数1，参数2)

• 参数 1：浮点型 x 坐标值，也就是实部。
• 参数 2：浮点型 y 坐标值，也就是虚部，它必须和参数 1 具有相同的大小（size 值的大小，不是 value 值的大小）。

函数 cv2.magnitude()的返回值是参数 1 和参数 2 的平方和的平方根，公式为：
式中， I 表示原始图像，dst 表示目标图像。

得到频谱信息的幅度后，通常还要对幅度值做进一步的转换，以便将频谱信息以图像的形式展示出来。

简单来说，就是需要将幅度值映射到灰度图像的灰度空间[0, 255]内，使其以灰度图像的形式显示出来。 这里使用的公式为：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(实部,虚部))

下面对一幅图像进行傅里叶变换，帮助读者观察上述处理过程。如下代码针对图像“lena” 进行傅里叶变换，并且计算了幅度值，对幅度值进行了规范化处理：

import numpy as np 
import cv2 
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
print(dft) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
print(dftShift) 
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:,:,0],dftShift[:,:,1])) 
print(result) 

• 左图显示的是函数 cv2.dft() 得到的频谱值，该值是由实部和虚部构成的。
• 中间的图显示的是将频谱图像 dft 中的零频率分量移到频谱中心的结果。
• 右图显示的是对函数 cv2.magnitude() 计算得到的频谱幅度值进一步规范的结果，现在值的范围在[0, 255]内

#用 OpenCV 函数对图像进行傅里叶变换
import numpy as np 
import cv2 import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:,:,0],dftShift[:,:,1])) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'),plt.axis('off') 
plt.subplot(122),plt.imshow(result, cmap = 'gray') 
plt.title('result'), plt.axis('off') 
plt.show() 

2.2 实现逆傅里叶变换

在 OpenCV 中，使用函数 cv2.idft() 实现逆傅里叶变换，该函数是傅里叶变换函数 cv2.dft() 的逆函数。其语法格式为：

返回结果=cv2.idft(原始数据)

对图像进行傅里叶变换后，通常会将零频率分量移至频谱图像的中心位置。如果使用函数 numpy.fft.fftshift() 移动了零频率分量，那么在进行逆傅里叶变换前，要使用函数 numpy.fft.ifftshift() 将零频率分量恢复到原来位置。

还要注意，在进行逆傅里叶变换后，得到的值仍旧是复数，需要使用函数 cv2.magnitude() 计算其幅度。

import numpy as np 
import cv2 import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
ishift = np.fft.ifftshift(dftShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1]) 
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show() 

2.3 低通滤波示例

在一幅图像内，同时存在着高频信号和低频信号。

• 低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频信号对应着颜色趋于一致的广袤草原。
• 高频信号对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。如果在上 面的大草原图像中还有一头狮子，那么高频信号就对应着狮子的边缘等信息。

滤波器能够允许一定频率的分量通过或者拒绝其通过，按照其作用方式可以划分为低通滤波器和高通滤波器。

• 允许低频信号通过的滤波器称为低通滤波器。低通滤波器使高频信号衰减而对低频信号放行，会使图像变模糊。
• 允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。高通滤波器使低频信号衰减而让高频信号通过，将增强图像中尖锐的细节，但是会导致图像的对比度降低。

在实现低通滤波时，可以专门构造一个如图 14-18 中左图所示的图像，用它与原图的傅里叶变换频谱图像进行与运算，就能将频谱图像中的高频信号过滤掉。

import numpy as np 
import cv2 import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
rows, cols = img.shape 
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8) #两个通道，与频域图像匹配 
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1 
fShift = dftShift*mask 
ishift = np.fft.ifftshift(fShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1]) 
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show()

2.4 高通滤波示例

允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。高通滤波器使低频信号衰减而让高频信号 通过，将增强图像中尖锐的细节，但是会导致图像的对比度降低。

import cv2 
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('image\\boat.bmp',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f) 
rows, cols = img.shape 
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
iimg = np.fft.ifft2(ishift) 
iimg = np.abs(iimg) 
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'),plt.axis('off') 
plt.subplot(122),plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'),plt.axis('off') 
plt.show()