【十三届蓝桥杯真题】求阶乘 --- 数学解法思考与尝试

写在前面

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蓝桥杯比赛终于告一段落了，感谢这一路上付出的你。这道求阶乘题目是今天较难的一道题目，这里我给大家分享下我的解题思路，不代表一定正确！仅供参考。

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题目描述

解题思路（仅供参考）

题目给定K的最大值为$10^{18}$，显然暴力解法是无法AC的，此时就需要更换思路。

题目中所求的是一个数阶乘后0的数量，不妨想想什么样的情况下会产生0呢？只有乘法运算为：2*5 时才会产生一位的 0 ，其余乘法运算均不会产生0。

有了这个结论，不妨我们假设返回的结果为 $M$ ，也就是说 $M!$ 后存在 $k$ 个0。为了找到式中有多少个 2*5，不妨我们将每一个数进行拆分为其因子，因为 2 因子出现的次数远大于 5 因子出现的次数，因此只需要找到 $[1,M]$ 区间内的数中 5 因子的个数就是 $k$ 的值。如果直接遍历 5 的倍数 5,10,15,20,..., 进行寻找必定会超时，因为数据量实在是太大了，因此下面进行第二次探究。

这样思考：5能够提供 1 个5因子，25能够提供 2 个5因子，125 能提供 3 个5因子，…，那么现在给定一个值 $M$ ，如何计算其 5因子的总数呢？先看看下面这张图：

对于所有能整除5的数来说：如果其存在5因子，则第一列的值存在；如果其存在25因子，则第二列的值存在；如果其存在125因子，则第三列的值存在，这样顺序推导下去：

那么对于$[1,M]$区间内的所有值：值存在5因子的数量为：$M/5$ ；值存在25因子的数量为：$M/25$ ；值存在125的数量为：$M/125$…，所有这些值的和，就是 5 因子的总数$K$

因此推导出5因子总数K与结果值$M$的关系为：

通过等比数列求和公式化简为：$(1-(1/5{)}^n)M=4K$，所以当$n->+INF$ 时，$M=4k$。又因为$K$的最大值为：$10^{18}$，因此$M$的最大值为$4\ast 10^{18}$，所以$n$的最大值也可以计算出来，这里假定为$30$。

现在输入一个数据$K$后，根据公式$(1-(1/5{)}^n)M=4K$ ，计算出不同的$n$值对应的$4K/(1-(1/5{)}^n)$的值放入数组$nums$中，在以$n$从小到大的顺序（保证$M$值最小）判断$nums[n]$的值是否符合要求（即：$5^n$是最大的小于等于$nums[n]$的5的幂）。

如果判断是符合要求的数，因为$M$的值要求：最小、$M>=nums[n]$、$M\%5==0$恒成立，因此计算出来的$nums[n]$需要特殊处理，也就是找到第一个大于等于$nums[n]$且取余5为0的值，就是$M$。

最后将M,K,n的值代入原式中判断等式是否成立，如果成立则等式输出M，否则输出-1。

代码（仅供参考）

因为蓝桥杯系统该题的调试还没有上线，因此该代码仅供参考！

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static boolean judge(long k, long M, int n) {
        long m = 5;
        while (n >= 1) {
            k -= (M / m);
            --n;
            m *= 5;
        }
        return k == 0;
    }
    static double[] nums = new double[30];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        long k = cin.nextLong();
        for (int i = 1; i < 30; ++i) {
            nums[i] = (4 * k) / (1 - Math.pow(0.2, i * 1.0));
        }
        for (int i = 1; i < 30; ++i) {
            double cur = Math.pow(5, i);
            double tCur = Math.pow(5, i + 1);
            if (nums[i] >= cur && nums[i]*1.0 < tCur) {
                long lI = (long) (nums[i]);
                int mod = (int) (lI % 5);
                if (lI != nums[i]) {
                    lI += 5;
                }
                lI -= mod;
                if (judge(k, lI, i)) {
                    System.out.println(lI);
                    return;
                }
            }
        }
        System.out.println(-1);
    }
}

写在最后

比赛虽然告一段落，但未来的路还有很长，我们应当砥砺前行、共同进步，为美好的明天而战！