【CF1646D】D. Weight the Tree（树形dp、贪心）

加权树

题意：

• 给定一颗树，让你给树上的点赋予权值。定义一个点的权值等于其所有相邻节点的权重之和时，这个点就是 good。
• 你需要找到一种赋值方法，使得树中 good 点数最多，同时所有顶点的权重总和最小。

思路：

• 可以发现，除了单独两个点一条边的情况，这两个点都赋值为 1，都是 good，其他情况下，树中任意相邻两点不可能同时都是 good。画下图就能看出来。当时完全没往这方面想…

• 这就启发我们，去维护一个树上最大独立集（最大点集同时点集中的点之间没有边）

• 这完全可以用 树形dp 的思想去维护，用 $dp[i][2]$ 表示某个结点选还是不选能得到的某某值。可以证明这样维护是能涵盖所有情况的。

• 状态集合清楚了，剩下还有赋值的问题，贪心地想，不是 good 的点我们都赋值最小值也就是 1，good 点周围都是非 good 点，自然赋值就是 相连的点数。

• 此题除了要维护最大 good 数，还要维护最小权重和。所以我们的 dp 数组开成 pair 类型，优先维护 good，good 相同时维护 权重 即可。

• 最后只需要根据 dp 性质反推方案。

$Code:$

#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define cinios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
#define sca scanf
#define pri printf
#define forr(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define rfor(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define oper(a) (operator<(const a& ee)const)
#define endl "\n"
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

double DNF = 1e17;
const int N = 200010, M = 400010, MM = 110;
int INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
ll LNF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, k, T, S, D, K;
vector<int> e[N];
PII dp[N][2];
//dp[i][1]表示选择该点，dp[i][0]表示不选该点
//PII的一维维护最大良好顶点个数，二维维护最小顶点权重总和
// 
//一个维护最大一个维护最小，有点不方便
//这里反转了一下，维护最小良好顶点个数，在最后的时候取负回正就行
int g[N];

void dfs_pre(int x, int fa) {
	dp[x][0] = { 0,1 };//该点不选，贪心的想，权重为 1
	dp[x][1] = { -1,e[x].size() };//选了的话，个数 1，权值为相连点数（毕竟它们权重都是 1）

	for (int j : e[x]) {
		if (j == fa)continue;
		dfs_pre(j, x);
		//当前点 选 的情况只能由全部子节点 不选 转移过来
		dp[x][1].first += dp[j][0].first;
		dp[x][1].second += dp[j][0].second;

		//不选的情况，就可以根据情况转
		//优先最大化良好顶点的数量，数量相同选权值最小
		//这个过程因为我们之前反转了一维定义，所以可以直接用 PII 取 min
		//PII 取 min 的过程就是优先处理一维，相同再更新二维

		PII tmp = min(dp[j][0], dp[j][1]);
		dp[x][0].first += tmp.first;
		dp[x][0].second += tmp.second;
	}
}

void dfs_find(int x, int fa, int c) { //c表示该点选还是不选
	if (c == 1)g[x] = e[x].size();
	else g[x] = 1;
	for (int j : e[x]) {
		if (j == fa)continue;
		if (c == 1)dfs_find(j, x, 0);//选只能由不选转移过来
		else {
			//否则找个小的转移
			if (dp[j][1] < dp[j][0])dfs_find(j, x, 1);
			else dfs_find(j, x, 0);
		}
	}
}

void solve() {
	cin >> n;
	forr(i, 1, n - 1) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		e[a].push_back(b);
		e[b].push_back(a);
	}

	if (n == 2) { //当且仅当两个顶点一条边的时候，很特殊，两点都是良好点
		cout << "2 2\n1 1";
		return;
	}

	//否则树中良好点必定不相邻，也就变成了最大独立集问题
	//可用选和不选的思路去树形dp，可以证明这样包含了所有情况
	dfs_pre(1, -1);

	//判断下选哪个更优，然后递归输出方案即可
	if (dp[1][1] < dp[1][0]) {
		cout << -dp[1][1].first << ' ' << dp[1][1].second << endl;
		dfs_find(1, -1, 1);
		forr(i, 1, n)cout << g[i] << ' ';
	}
	else {
		cout << -dp[1][0].first << ' ' << dp[1][0].second << endl;
		dfs_find(1, -1, 0);
		forr(i, 1, n)cout << g[i] << ' ';
	}
}

int main() {
	cinios;

	T = 1;
	while (T--)solve();

	return 0;
}
/*
*/

DP顶真，鉴定为：好题