完数

完数(Perfect number的形式　

欧几里德证明了：一个偶数是完数，当且仅当它具有如下形式：2^(p-1)*(2^p-1) 　

其中2^p-1是素数 

完全数（Perfect number）是一些特殊的自然数：它所有的真因子(即除了本身以外的约数 )的和，恰好等于它本身。 

例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，

1＋2＋3 ＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加 ，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496，8128。 　　

古希腊数学家欧几里德是通过 2^(n-1)*(2^n-1) 的表达式发现头四个完全数的。

当 n = 2^1*(2^2-1) = 6 

当 n = 2^2*(2^3-1) = 28 

当 n = 2^4*(2^5-1) = 496 　　

当 n = 2^6*(2^7-1) = 8128 　

欧几里德证明了：一个偶数是完数，当且仅当它具有如下形式：2^(n-1)*(2^n -1)，

而(2^n-1)必须是素数。 　

尽管没有发现奇完数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔（Oystein Ore）证明，若有奇完全数，则其形状必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在1018以下的自然数中奇完数是不存在的。 　

6，28、496，8128，33550336，8589869056(10位)，1 3 7438691328(12位)， 　　2305843008139952128(19位)…… 　

偶完数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。 

除6以外的偶完数，把它的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1（亦即 　：除6以外的完数，被9除都余1。）： 　

28：2+8=10，1+0=1 　

496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 

所有的偶完数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，

从2p - 1到22p - 2: <注:以下a的n次方表示形式为a(n)>　

6=2(1 ) + 2(2 )　

28=2(2 ) + 2(3) + 2(4) 

496=2(4) + 2(5) + ... + 2(8)　　

8128=2(6) + 2(7) + 2(8)+... + 2(12) 　　

33550336=2(12) + 2(13 ) + 2(14)... + 2(24) 　　

每一个偶完数都可以写成连续自然数之和： 　

6=1+2+3 　　

28=1+2+3+4+5+6+7； 　　

496=1+2+3+…+30+31 　　

除6以外的偶完数，还可以表示成连续奇数的立方和（被加的项共有)： 　　

28=1(3) + 3(3) 　　

496=1(3) + 3(3) + 5(3) + 7(3) 　　

8128=1(3 ) + 3(3) + 5(3) + ... + 15(3) 　　

33550336=1(3) + 3(3) + 5(3) + ... + 125(3) + 127(3) 　　

每一个完数的所有约数(包括本身)的倒数之和，都等于2： 

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 =2 　

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 =2 　

它们的二进制表达式也很有趣： 　　

(6)10 = (110)2 　　

(28)10 = (11100)2? 

判断一个数是否完数

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main()

{

	__int64 i,n,sum,k,t;

	while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)

	{

		t=0;

		if(n%10==6||n%10==8)

		{

			sum=3;

			sum+=n/2;

			for(i=3,k=9;k<n;i++)

			{	

				if(n%i==0)

				{

					sum+=(i+n/i);

				}

				k+=i+i+1;

			}				

			if(k==n) sum+=i;

			if(sum==n)

				t=1;

		}	

		if(t)printf("YES!\n");

		else printf("NO!\n");

	}

	return 0;

}