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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。

引言

在ShowMeAI前一篇文章 深度学习概论 中我们对深度学习(Deep Learning)进行了简单介绍：

我们以房价预测为例，对应讲解了神经网络(Neural Network)模型结构和基础知识。
介绍了针对监督学习的几类典型神经网络：Standard NN，CNN和RNN。
介绍了「结构化数据」和「非结构化数据」2种不同类型的数据。
分析了近些年来深度学习热门，及其性能优于传统机器学习的原因(Data，Computation和Algorithms)。

本节内容我们展开介绍神经网络的基础：逻辑回归(Logistic Regression)。我们将通过对逻辑回归模型结构的分析，过渡到后续神经网络模型。(关于逻辑回归模型，大家也可以阅读ShowMeAI的文章 图解机器学习 | 逻辑回归算法详解 学习)

1.算法基础与逻辑回归

逻辑回归(Logistic regression) 是一个用于二分类的算法。

1.1 二分类问题与机器学习基础

二分类就是输出$y$只有 {0,1} 两个离散值(也有 {-1,1} 的情况)。我们以一个「图像识别」问题为例，判断图片是否是猫。识别是否是「猫」，这是一个典型的二分类问题——0代表「非猫(not cat)」，1代表「猫(cat)」。(关于机器学习基础知识大家也可以查看ShowMeAI文章 图解机器学习 | 机器学习基础知识)。

从机器学习的角度看，我们的输入$x$此时是一张图片，彩色图片包含RGB三个通道，图片尺寸为$(64,64,3)$。

有些神经网络的输入是一维的，我们可以将图片$x$(维度$(64,64,3)$)展平为一维特征向量(feature vector)，得到的特征向量维度为$(12288,1)$。我们一般用列向量表示样本，把维度记为$n_x$。

如果训练样本有$m$张图片，那么我们用矩阵存储数据，此时数据维度变为$(n_x,m)$。

矩阵$X$的行$n_x$代表了每个样本$x^{(i)}$特征个数
矩阵$X$的列$m$代表了样本个数。

我们可以对训练样本的标签$Y$也做一个规整化，调整为1维的形态，标签$Y$的维度为$(1,m)$。

1.2 逻辑回归算法

逻辑回归是最常见的二分类算法(详细算法讲解也可阅读ShowMeAI文章 图解机器学习 | 逻辑回归算法详解)，它包含以下参数：

输入的特征向量：$x \in R^{n_x}$，其中 ${n_x}$是特征数量
用于训练的标签：$y \in 0,1$
权重：$w \in R^{n_x}$
偏置： $b \in R$
输出：$\hat{y} = \sigma(w^Tx+b)$

输出计算用到了Sigmoid函数，它是一种非线性的S型函数，输出被限定在 $[0,1]$ 之间，通常被用在神经网络中当作激活函数(Activation Function)使用。

Sigmoid函数的表达式如下：

$
s = \sigma(w^Tx+b) = \sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}
$

实际上，逻辑回归可以看作非常小的一个神经网络。

1.3 逻辑回归的损失函数

在机器学习中，损失函数(loss function)用于量化衡量预测结果与真实值之间的差距，我们会通过优化损失函数来不断调整模型权重，使其最好地拟合样本数据。

在回归类问题中，我们会使用均方差损失(MSE)：

$$ L(\hat{y},y) = \frac{1}{2}(\hat{y}-y)^2 $$

但是在逻辑回归中，我们并不倾向于使用这样的损失函数。逻辑回归使用平方差损失会得到非凸的损失函数，它会有很多个局部最优解。梯度下降法可能找不到全局最优值，从而给优化带来困难。

因此我们调整成使用对数损失(二元交叉熵损失)：

$$ L(\hat{y},y) = -(y\log\hat{y})+(1-y)\log(1-\hat{y}) $$

刚才我们给到的是单个训练样本中定义的损失函数，它衡量了在单个训练样本上的表现。我们定义代价函数(Cost Function，或者称作成本函数)为全体训练样本上的表现，即$m$个样本的损失函数的平均值，反映了$m$个样本的预测输出与真实样本输出$y$的平均接近程度。

成本函数的计算公式如下：

$$ J(w,b) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^mL(\hat{y}^{(i)},y^{(i)}) $$

2.梯度下降法(Gradient Descent)

刚才我们了解了损失函数(Loss Function)与成本函数定义，下一步我们就要找到最优的$w$和$b$值，最小化$m$个训练样本的Cost Function。这里用到的方法就叫做梯度下降(Gradient Descent)算法。

在数学上，1个函数的梯度(gradient)指出了它的最陡增长方向。也就是说，沿着梯度的方向走，函数增长得就最快。那么沿着梯度的负方向走，函数值就下降得最快。

（更详细的最优化数学知识可以阅读ShowMeAI文章 图解AI数学基础 | 微积分与最优化）

模型的训练目标是寻找合适的$w$与$b$以最小化代价函数值。我们先假设$w$与$b$都是一维实数，则代价函数$J$关于$w$与$b$的图如下所示：

上图中的代价函数$J$是一个凸函数，只有一个全局最低点，它能保证无论我们初始化模型参数如何(在曲面上任何位置)，都能够寻找到合适的最优解。

基于梯度下降算法，得到以下参数$w$的更新公式：

$$ w := w - \alpha\frac{dJ(w, b)}{dw} $$

公式中$\alpha$为学习率，即每次更新的$w$的步长。

成本函数$J(w, b)$中对应的参数$b$更新公式为：

$$ b := b - \alpha\frac{dJ(w, b)}{db} $$

3.计算图(Computation Graph)

对于神经网络而言，训练过程包含了两个阶段：前向传播(Forward Propagation)和反向传播(Back Propagation)。

前向传播是从输入到输出，由神经网络前推计算得到预测输出的过程
反向传播是从输出到输入，基于Cost Function对参数$w$和$b$计算梯度的过程。

下面，我们结合一个例子用计算图(Computation graph)的形式来理解这两个阶段。

3.1 前向传播(Forward Propagation)

假如我们的Cost Function为$J(a,b,c)=3(a+bc)$，包含$a$、$b$、$c$三个变量。

我们添加一些中间变量，用$u$表示$bc$，$v$表示$a+u$，则$J=3v$。

整个过程可以用计算图表示：

在上图中，我们让$a=5$，$b=3$，$c=2$，则$u=bc=6$，$v=a+u=11$，$J=3v=33$。

计算图中，这种从左到右，从输入到输出的过程，就对应着神经网络基于$x$和$w$计算得到Cost Function的前向计算过程。

3.2 反向传播(Back Propagation)

我们接着上个例子中的计算图讲解反向传播，我们的输入参数有$a$、$b$、$c$三个。

① 先计算$J$对参数$a$的偏导数

从计算图上来看，从右到左，$J$是$v$的函数，$v$是$a$的函数。基于求导链式法则得到：

$$ \frac{\partial J}{\partial a}=\frac{\partial J}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial a}=3\cdot 1=3 $$

② 计算$J$对参数$b$的偏导数

从计算图上来看，从右到左，$J$是$v$的函数，$v$是$u$的函数，$u$是$b$的函数。同样可得：

$$ \frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial b}=3\cdot 1\cdot c=3\cdot 1\cdot 2=6 $$

③ 计算$J$对参数$c$的偏导数

此时从右到左，$J$是$v$的函数，$v$是$u$的函数，$u$是$c$的函数。可得：

$$ \frac{\partial J}{\partial c}=\frac{\partial J}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial c}=3\cdot 1\cdot b=3\cdot 1\cdot 3=9 $$

这样就完成了从右往左的反向传播与梯度(偏导)计算过程。

4.逻辑回归中的梯度下降法

回到我们前面提到的逻辑回归问题，我们假设输入的特征向量维度为2(即$[x_1, x_2]$)，对应权重参数$w_1$、$w_2$、$b$得到如下的计算图：

反向传播计算梯度

① 求出$L$对于$a$的导数

② 求出$L$对于$z$的导数

③ 继续前推计算

④ 基于梯度下降可以得到参数更新公式

前面提到的是对单个样本求偏导和应用梯度下降算法的过程。对于有$m$个样本的数据集，Cost Function $J(w,b)$、$a^{(i)}$ 和权重参数$w_1$ 的计算如图所示。

完整的Logistic回归中某次训练的流程如下，这里仅假设特征向量的维度为2：

J=0; dw1=0; dw2=0; db=0;
for i = 1 to m
    z(i) = wx(i)+b;
    a(i) = sigmoid(z(i));
    J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i));
    dz(i) = a(i)-y(i);
    dw1 += x1(i)dz(i);
    dw2 += x2(i)dz(i);
    db += dz(i);
J /= m;
dw1 /= m;
dw2 /= m;
db /= m;

接着再对$w_1$、$w_2$、$b$进行迭代。

上述计算过程有一个缺点：整个流程包含两个for循环。其中：

第一个for循环遍历$m$个样本
第二个for循环遍历所有特征

如果有大量特征，在代码中显示使用for循环会使算法很低效。向量化可以用于解决显式使用for循环的问题。

5.向量化(Vectorization)

继续以逻辑回归为例，如果以非向量化的循环方式计算$z=w^Tx+b$，代码如下：

z = 0;
for i in range(n_x):
    z += w[i] * x[i]
z += b

基于向量化的操作，可以并行计算，极大提升效率，同时代码也更为简洁：
(这里使用到python中的numpy工具库，想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的图解数据分析系列中的numpy教程，也可以通过ShowMeAI制作的 numpy速查手册快速了解其使用方法)

z = np.dot(w, x) + b

不用显式for循环，实现逻辑回归的梯度下降的迭代伪代码如下：

$$Z=w^TX+b=np.dot(w.T, x) + b$$

$$A=\sigma(Z)$$

$$dZ=A-Y$$

$$dw=\frac{1}{m}XdZ^T$$

$$db=\frac{1}{m}np.sum(dZ)$$

$$w:=w-\sigma dw$$

$$b:=b-\sigma db$$

深度学习教程 | 神经网络基础

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