[MATLAB学习笔记]采用快速傅里叶变换求时间序列的周期项

[MATLAB学习笔记]采用快速傅里叶变换求时间序列的周期项

1. 背景

现有长度为11年的5个时间序列，为某拟研究对象的5个参数。现计划先通过快速傅里叶变换求每个系数序列的显著周期项，再分别按照傅里叶序模型列进行拟合，得到系数和时间的模型，即达到一个效果：输入一个时间，可以得到对应的5个参数。

2. 实现

2.1 序列中含有缺失天数，即为非等间隔采样

需先对序列进行插值计算，不同插值方法对结果的影响这里先不讨论。先用matlab中自带的spline函数对数据进行三次样条插值，得到完整序列。

（实际上，本文中采用的数据点总长度为4018天，缺失的天数为25天，缺失率为0.6%，认为不同插值方法的影响可以忽略）

插值部分代码如下：

clear

%读取参数序列
load ./coefFile/nml_PolyCurveCoef_1998.182-2009.182.txt
data = nml_PolyCurveCoef_1998_182_2009_182;
%总天数：s:50995(1998.7.1)  e:55196(2009.12.31) 一共4201天

%截取1998.7.1-2009.7.1之间的数据
%总天数：s:50995(1998.7.1)  e:55013(2009.7.1) 一共4018天
data_temp = ones(4018,9);
for i = 1: length(data)
    if data(i,1) == 2009 && data(i,2) == 7 && data(i,3) == 1 
        data_temp(i,:) = data(i,:);
        break;
    else
        data_temp(i,:) = data(i,:);
    end
end

data = data_temp;

it = 1;
for i = 1: length(data)
    if data(i,5) == 0 && data(i,6) == 0 && data(i,7) == 0 
        is_zero_ind(it) = i;%is_zero_ind数组储存拟合参数为0的天数在矩阵中的行位置（即缺失数据天的位置）
        it = it + 1;
    end
    
end
mjd_time_temp = data(:,4);
mjd_time_interp = mjd_time_temp(is_zero_ind);%读取需要插值的mjd
mjd_time_interp = mjd_time_interp - 50965;%减去初始天数

time_temp = data(:,1:3);
time_interp = time_temp(is_zero_ind,1:3);%读取需要插值的年月日时间信息

data1=data;
[row,col]=size(data1);
for j=1:length(is_zero_ind)
    data1(is_zero_ind(j),:)=ones(1,col)*NaN;           
end
data1(isnan(data1))=[];%此处删除完所有NaN后变成一列
data1=reshape(data1,length(data1)/col,col);%再按照固定的列数将其重新排列就可以得到新矩阵


%插值情况：
%总天数：s:50995(1998.7.1)  e:55013(2009.7.1) 一共4018天
%现有数据：3993天
%插值长度：25天
%data1不含缺失数据

mjd_time = data1(:,4);
mjd_mjd0 = mjd_time - 50965;

a0 = data1(:,5);
a1 = data1(:,6);
a2 = data1(:,7);
a3 = data1(:,8);
a4 = data1(:,9);

a0_interp = interp1(mjd_mjd0,a0,mjd_time_interp,'spline');
a1_interp = interp1(mjd_mjd0,a1,mjd_time_interp,'spline');
a2_interp = interp1(mjd_mjd0,a2,mjd_time_interp,'spline');
a3_interp = interp1(mjd_mjd0,a3,mjd_time_interp,'spline');
a4_interp = interp1(mjd_mjd0,a4,mjd_time_interp,'spline');

%插值得到的缺失天的数据
data_missingData = [time_interp mjd_time_interp + 50965 a0_interp a1_interp a2_interp a3_interp a4_interp];

data_interp = data;

for inp = 1: length(is_zero_ind)
    data_interp(is_zero_ind(inp),1:9) =  data_missingData(inp,1:9);
end

nml_poly_coef_1998_182_2009_182_interp = data_interp;
save ./matFile/nml_poly_coef_1998_182_2009_182_interp nml_poly_coef_1998_182_2009_182_interp
% %绘制图
% % 
% subplot(5,1,1)
% plot(mjd_mjd0,a0,'b.')
% hold on 
% plot(mjd_time_interp,a0_interp,'r*')
% ylabel('a0')
% xlim([0 4020])
% 
% subplot(5,1,2)
% plot(mjd_mjd0,a1,'b.')
% hold on 
% plot(mjd_time_interp,a1_interp,'r*')
% ylabel('a1')
% xlim([0 4020])
% 
% subplot(5,1,3)
% plot(mjd_mjd0,a2,'b.')
% hold on 
% plot(mjd_time_interp,a2_interp,'r*')
% ylabel('a2')
% xlim([0 4020])
% 
% subplot(5,1,4)
% plot(mjd_mjd0,a3,'b.')
% hold on 
% plot(mjd_time_interp,a3_interp,'r*')
% ylabel('a3')
% xlim([0 4020])
% 
% subplot(5,1,5)
% plot(mjd_mjd0,a4,'b.')
% hold on 
% plot(mjd_time_interp,a4_interp,'r*')
% xlabel('td = mjd - 50965')
% xlim([0 4020])
% ylabel('a4')

输入文件中，数据缺失的天数5个参数用均用0填上了，所以is_zero_ind数组是为了找到这些数据缺失位置

2.2 快速傅里叶变换

数据插值后得到完整的序列，进行快速傅里叶变换。由于没有学习过信号相关知识，所以对该方面了解并不深刻，建议和我一样的先去读一下参考博客2和3中的详细描述。主要在FFT计算后想以下面的形式展示：

其将参数时间序列进行傅里叶变换后，画出周期和幅值。横坐标为days，而非一般信号分析里面频率。这里先给出我计算的程序，再记录一下我的理解：

clear
load ./matFile/nml_poly_coef_1998_182_2009_182_interp.mat
data = nml_poly_coef_1998_182_2009_182_interp;

year = data(:,1);
mon = data(:,2);
day = data(:,3);
mjd_time = data(:,4);
mjd_mjd0 = mjd_time - 50965;

a0 = data(:,5);
a1 = data(:,6);
a2 = data(:,7);
a3 = data(:,8);
a4 = data(:,9);


x = a1';
figure ; 
subplot(2,1,1);
plot(mjd_mjd0,x,'.')
xlim([0 4020])
xlabel('td = mjd - 50965')
ylabel('a0')

N = length(x);%采样点数 4018 个点
time_len = mjd_time(end) - mjd_time(1);%时间长度（单位：天）4018天
T = time_len/N; % 采样周期等于采样长度除去采样点数(单位：天)表示每隔T天采集一个数据
Fs=1/T; % 采样频率（单位：每天）

n = 0:N-1;

Y = fft(x); % 计算出来的fft是个复数

df=Fs/N; %频率间隔
f=(0:1:N/2)*df;% 频率刻度
period = 1./f;

YY=Y(1:N/2+1);            % 提取正频率的部分
YY(2:end-1)=2*YY(2:end-1); % 负频率合并到正频

A=abs(YY);           % 计算频域序列YY的幅值
Pha=angle(YY);       % 计算频域序列YY的相角 弧度


subplot(2,1,2)
plot(period,A)         % 绘制频域序列YY的幅频图
grid on
xlim([0 4020])
xlabel('period(days)')
ylabel('Amplitude')

在一般信号分析的教程中，频谱图的横坐标为频率，单位为Hz（次/秒），本文中采用的时间序列，时间长度为4018天，采样点数为4018个，则采样间隔为1，即每1天采集一个数据，那么此时根据博客教程所示画出来的频谱图横坐标的“频率”单位就不是Hz（次/秒）了，而是（次/天），这个单位对应的”频率“在本例中是个非常小的数字，此时为了更好的展示时间序列中的周期项，只需要将横坐标的数字求倒数就可以了，频率的倒数是周期。则画出来的a1参数的周期-幅值图为：

参考：

[1]matlab学习-数据插值

[2]MATLAB信号分析与处理—FFT(一)

[3]（Matlab科学计算） 频谱分析和FFT算法总结